Theorem sralvec 34287

Description: Given a sub division ring 𝐹 of a division ring 𝐸, 𝐸 may be considered as a vector space over 𝐹, which becomes the field of scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralvec.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
sralvec.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sralvec	⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Proof of Theorem sralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralvec.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
3	2	sralmod 21492	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
5	1, 4	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LMod)
6		sralvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
7	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20854	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	srasca 21485	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐴))
11	6, 10	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
12	11	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
13		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
16	15	islvec 21409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
17	5, 14, 16	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437  Scalarcsca 17460  SubRingcsubrg 20851  DivRingcdr 21010  LModclmod 21165  LVecclvec 21407  subringAlg csra 21476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-subg 19362  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lvec 21408  df-sra 21478

This theorem is used by:  srafldlvec  34288  drgextgsum  34297  fedgmullem1  34331  fedgmullem2  34332  fedgmul  34333  fldextsralvec  34357  extdgcl  34358  extdggt0  34359  fldextrspunlem1  34377  extdgfialglem1  34394