Theorem sralvec 30424

Description: Given a sub division ring 𝐹 of a division ring 𝐸, 𝐸 may be considered as a vector space over 𝐹, which becomes the field of scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralvec.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
sralvec.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sralvec	⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Proof of Theorem sralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralvec.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
3	2	sralmod 19595	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
4	3	3ad2ant3 1126	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
5	1, 4	syl5eqel 2863	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LMod)
6		sralvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
7	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
8		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 19184	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	srasca 19589	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐴))
11	6, 10	syl5eq 2826	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
12	11	3ad2ant3 1126	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
13		simp2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2860	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
15		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
16	15	islvec 19510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
17	5, 14, 16	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266   ↾_s cress 16267  Scalarcsca 16352  DivRingcdr 19150  SubRingcsubrg 19179  LModclmod 19266  LVecclvec 19508  subringAlg csra 19576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-subg 17986  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lvec 19509  df-sra 19580

This theorem is referenced by:  srafldlvec  30425