Theorem sralvec 33761

Description: Given a sub division ring 𝐹 of a division ring 𝐸, 𝐸 may be considered as a vector space over 𝐹, which becomes the field of scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralvec.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
sralvec.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sralvec	⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Proof of Theorem sralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralvec.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
3	2	sralmod 21151	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
4	3	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
5	1, 4	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LMod)
6		sralvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
7	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20517	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	srasca 21144	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐴))
11	6, 10	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
12	11	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
13		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
16	15	islvec 21068	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
17	5, 14, 16	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Scalarcsca 17192  SubRingcsubrg 20514  DivRingcdr 20674  LModclmod 20823  LVecclvec 21066  subringAlg csra 21135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-subg 19065  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lvec 21067  df-sra 21137

This theorem is referenced by:  srafldlvec  33762  drgextgsum  33771  rgmoddimOLD  33787  fedgmullem1  33806  fedgmullem2  33807  fedgmul  33808  fldextsralvec  33832  extdgcl  33833  extdggt0  33834  fldextrspunlem1  33852  extdgfialglem1  33869