Theorem sralvec 34151

Description: Given a sub division ring 𝐹 of a division ring 𝐸, 𝐸 may be considered as a vector space over 𝐹, which becomes the field of scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralvec.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
sralvec.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sralvec	⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Proof of Theorem sralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralvec.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
3	2	sralmod 21424	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
5	1, 4	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LMod)
6		sralvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
7	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20786	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	srasca 21417	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐴))
11	6, 10	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
12	11	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
13		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
15		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
16	15	islvec 21341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
17	5, 14, 16	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349   ↾_s cress 17370  Scalarcsca 17393  SubRingcsubrg 20783  DivRingcdr 20942  LModclmod 21097  LVecclvec 21339  subringAlg csra 21408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-subg 19295  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lvec 21340  df-sra 21410

This theorem is used by:  srafldlvec  34152  drgextgsum  34161  fedgmullem1  34195  fedgmullem2  34196  fedgmul  34197  fldextsralvec  34221  extdgcl  34222  extdggt0  34223  fldextrspunlem1  34241  extdgfialglem1  34258