Theorem sralvec 33836

Description: Given a sub division ring 𝐹 of a division ring 𝐸, 𝐸 may be considered as a vector space over 𝐹, which becomes the field of scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralvec.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
sralvec.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sralvec	⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Proof of Theorem sralvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralvec.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
3	2	sralmod 21227	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
4	3	3ad2ant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈) ∈ LMod)
5	1, 4	eqeltrid 2860	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LMod)
6		sralvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
7	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈))
8		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9	8	subrgss 20594	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
10	7, 9	srasca 21220	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝑈) = (Scalar‘𝐴))
11	6, 10	eqtrid 2803	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
12	11	3ad2ant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 = (Scalar‘𝐴))
13		simp2 1146	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐹 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2857	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
15		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
16	15	islvec 21144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
17	5, 14, 16	sylanbrc 591	1 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221   ↾_s cress 17242  Scalarcsca 17265  SubRingcsubrg 20591  DivRingcdr 20751  LModclmod 20900  LVecclvec 21142  subringAlg csra 21211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-subg 19141  df-mgp 20163  df-ur 20204  df-ring 20257  df-subrg 20592  df-lmod 20902  df-lvec 21143  df-sra 21213

This theorem is referenced by:  srafldlvec  33837  drgextgsum  33846  fedgmullem1  33880  fedgmullem2  33881  fedgmul  33882  fldextsralvec  33906  extdgcl  33907  extdggt0  33908  fldextrspunlem1  33926  extdgfialglem1  33943