Theorem lmhmlvec 40186

Description: The property for modules to be vector spaces is invariant under module isomorphism. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlvec	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Proof of Theorem lmhmlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod1 20210	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
2		lmhmlmod2 20209	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
3	1, 2	2thd 264	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LMod ↔ 𝑇 ∈ LMod))
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6	4, 5	lmhmsca 20207	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
7	6	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑇))
8	7	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((Scalar‘𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝑇) ∈ DivRing))
9	3, 8	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑆) ∈ DivRing) ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑇) ∈ DivRing)))
10	4	islvec 20281	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ LVec ↔ (𝑆 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑆) ∈ DivRing))
11	5	islvec 20281	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LVec ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑇) ∈ DivRing))
12	9, 10, 11	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Scalarcsca 16891  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038   LMHom clmhm 20196  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-lmhm 20199  df-lvec 20280

This theorem is referenced by: (None)