Theorem lmhmlvec 21205

Description: The property for modules to be vector spaces is invariant under module isomorphism. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlvec	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Proof of Theorem lmhmlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod1 21128	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
2		lmhmlmod2 21127	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
3	1, 2	2thd 268	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LMod ↔ 𝑇 ∈ LMod))
4		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6	4, 5	lmhmsca 21125	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
7	6	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑇))
8	7	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((Scalar‘𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝑇) ∈ DivRing))
9	3, 8	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑆) ∈ DivRing) ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑇) ∈ DivRing)))
10	4	islvec 21199	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ LVec ↔ (𝑆 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑆) ∈ DivRing))
11	5	islvec 21199	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LVec ↔ (𝑇 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑇) ∈ DivRing))
12	9, 10, 11	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Scalarcsca 17309  DivRingcdr 20809  LModclmod 20955   LMHom clmhm 21114  LVecclvec 21197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-lmhm 21117  df-lvec 21198

This theorem is referenced by:  lmimdim  33935