Theorem lvecprop2d 21449

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 21450 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecprop2d.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecprop2d.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecprop2d.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
lvecprop2d.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
lvecprop2d.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
lvecprop2d.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
lvecprop2d.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecprop2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecprop2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lvecprop2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecprop2d.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecprop2d.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecprop2d.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
4		lvecprop2d.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
5		lvecprop2d.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
6		lvecprop2d.p2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
7		lvecprop2d.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
8		lvecprop2d.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9		lvecprop2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
10		lvecprop2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodprop2d 21204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
12	5, 6, 8, 9	drngpropd 21032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ↔ 𝐺 ∈ DivRing))
13	11, 12	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing)))
14	3	islvec 21384	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
15	4	islvec 21384	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing))
16	13, 14, 15	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  DivRingcdr 20985  LModclmod 21140  LVecclvec 21382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lvec 21383

This theorem is used by:  hlhillvec  43101