Theorem lvecprop2d 21256

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 21257 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecprop2d.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecprop2d.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecprop2d.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
lvecprop2d.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
lvecprop2d.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
lvecprop2d.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
lvecprop2d.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecprop2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecprop2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lvecprop2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecprop2d.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecprop2d.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecprop2d.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
4		lvecprop2d.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
5		lvecprop2d.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
6		lvecprop2d.p2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
7		lvecprop2d.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
8		lvecprop2d.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9		lvecprop2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
10		lvecprop2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodprop2d 21011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
12	5, 6, 8, 9	drngpropd 20839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ↔ 𝐺 ∈ DivRing))
13	11, 12	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing)))
14	3	islvec 21191	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
15	4	islvec 21191	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing))
16	13, 14, 15	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  DivRingcdr 20801  LModclmod 20947  LVecclvec 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-mgp 20205  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lvec 21190

This theorem is referenced by:  hlhillvec  42582