Theorem lvecprop2d 21327

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 21328 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecprop2d.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecprop2d.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecprop2d.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
lvecprop2d.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
lvecprop2d.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
lvecprop2d.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
lvecprop2d.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecprop2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
lvecprop2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecprop2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lvecprop2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecprop2d.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecprop2d.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecprop2d.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
4		lvecprop2d.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
5		lvecprop2d.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
6		lvecprop2d.p2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
7		lvecprop2d.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
8		lvecprop2d.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
9		lvecprop2d.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝐹)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐺)𝑦))
10		lvecprop2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodprop2d 21082	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
12	5, 6, 8, 9	drngpropd 20910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ↔ 𝐺 ∈ DivRing))
13	11, 12	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing)))
14	3	islvec 21262	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
15	4	islvec 21262	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing))
16	13, 14, 15	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  DivRingcdr 20864  LModclmod 21018  LVecclvec 21260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lvec 21261

This theorem is used by:  hlhillvec  42766