MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecprop2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecprop2d 21053
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 21054 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecprop2d.b1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
lvecprop2d.b2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
lvecprop2d.f 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
lvecprop2d.g 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
lvecprop2d.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
lvecprop2d.p2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
lvecprop2d.1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
lvecprop2d.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
lvecprop2d.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦))
lvecprop2d.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lvecprop2d (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lvecprop2d
StepHypRef Expression
1 lvecprop2d.b1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 lvecprop2d.b2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 lvecprop2d.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
4 lvecprop2d.g . . . 4 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
5 lvecprop2d.p1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
6 lvecprop2d.p2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
7 lvecprop2d.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
8 lvecprop2d.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
9 lvecprop2d.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦))
10 lvecprop2d.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodprop2d 20806 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
125, 6, 8, 9drngpropd 20660 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ DivRing ↔ 𝐺 ∈ DivRing))
1311, 12anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing)))
143islvec 20988 . 2 (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
154islvec 20988 . 2 (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing))
1613, 14, 153bitr4g 313 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  DivRingcdr 20623  LModclmod 20742  LVecclvec 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lvec 20987
This theorem is referenced by:  hlhillvec  41480
  Copyright terms: Public domain W3C validator