Theorem lduallvec 39192

Description: The dual of a left vector space is also a left vector space. Note that scalar multiplication is reversed by df-oppr 20253; otherwise, the dual would be a right vector space as is sometimes the case in the literature. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallvec.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallvec.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lduallvec	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Proof of Theorem lduallvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallvec.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		lduallvec.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21038	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	lduallmod 39191	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9	6, 7, 1, 8, 2	ldualsca 39170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘(Scalar‘𝑊)))
10	6	lvecdrng 21037	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	7	opprdrng 20677	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
14	9, 13	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing)
15	8	islvec 21036	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ LVec ↔ (𝐷 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing))
16	5, 14, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Scalarcsca 17161  opp_rcoppr 20252  DivRingcdr 20642  LModclmod 20791  LVecclvec 21034  LDualcld 39161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lvec 21035  df-lfl 39096  df-ldual 39162

This theorem is referenced by:  lkreqN  39208  lkrlspeqN  39209  lcdlvec  41629