Theorem lduallvec 39142

Description: The dual of a left vector space is also a left vector space. Note that scalar multiplication is reversed by df-oppr 20252; otherwise, the dual would be a right vector space as is sometimes the case in the literature. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallvec.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallvec.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lduallvec	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Proof of Theorem lduallvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallvec.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		lduallvec.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21019	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	lduallmod 39141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9	6, 7, 1, 8, 2	ldualsca 39120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘(Scalar‘𝑊)))
10	6	lvecdrng 21018	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	7	opprdrng 20679	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
14	9, 13	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing)
15	8	islvec 21017	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ LVec ↔ (𝐷 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing))
16	5, 14, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  Scalarcsca 17229  opp_rcoppr 20251  DivRingcdr 20644  LModclmod 20772  LVecclvec 21015  LDualcld 39111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lvec 21016  df-lfl 39046  df-ldual 39112

This theorem is referenced by:  lkreqN  39158  lkrlspeqN  39159  lcdlvec  41580