Theorem lduallvec 39928

Description: The dual of a left vector space is also a left vector space. Note that scalar multiplication is reversed by df-oppr 20415; otherwise, the dual would be a right vector space as is sometimes the case in the literature. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallvec.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallvec.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lduallvec	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Proof of Theorem lduallvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallvec.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		lduallvec.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21227	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	lduallmod 39927	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9	6, 7, 1, 8, 2	ldualsca 39906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘(Scalar‘𝑊)))
10	6	lvecdrng 21226	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	2, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	7	opprdrng 20867	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
14	9, 13	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing)
15	8	islvec 21225	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ LVec ↔ (𝐷 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing))
16	5, 14, 15	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  Scalarcsca 17308  opp_rcoppr 20414  DivRingcdr 20827  LModclmod 20981  LVecclvec 21223  LDualcld 39897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lvec 21224  df-lfl 39832  df-ldual 39898

This theorem is referenced by:  lkreqN  39944  lkrlspeqN  39945  lcdlvec  42365