Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lduallvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lduallvec 38682
Description: The dual of a left vector space is also a left vector space. Note that scalar multiplication is reversed by df-oppr 20277; otherwise, the dual would be a right vector space as is sometimes the case in the literature. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lduallvec.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lduallvec.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
Assertion
Ref Expression
lduallvec (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LVec)

Proof of Theorem lduallvec
StepHypRef Expression
1 lduallvec.d . . 3 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
2 lduallvec.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20995 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
51, 4lduallmod 38681 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
6 eqid 2725 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2725 . . . 4 (opprβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (opprβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 eqid 2725 . . . 4 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
96, 7, 1, 8, 2ldualsca 38660 . . 3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) = (opprβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
106lvecdrng 20994 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
112, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
127opprdrng 20660 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ↔ (opprβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ DivRing)
1311, 12sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (opprβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ DivRing)
149, 13eqeltrd 2825 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ DivRing)
158islvec 20993 . 2 (𝐷 ∈ LVec ↔ (𝐷 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π·) ∈ DivRing))
165, 14, 15sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  Scalarcsca 17235  opprcoppr 20276  DivRingcdr 20628  LModclmod 20747  LVecclvec 20991  LDualcld 38651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lvec 20992  df-lfl 38586  df-ldual 38652
This theorem is referenced by:  lkreqN  38698  lkrlspeqN  38699  lcdlvec  41120
  Copyright terms: Public domain W3C validator