Theorem lhp1cvr 41057

Description: The lattice unity covers a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp1cvr.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhp1cvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhp1cvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp1cvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Proof of Theorem lhp1cvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		lhp1cvr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		lhp1cvr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhp1cvr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp 41054	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐶 1 )))
6	5	simplbda 505	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  1.cp1 18596   ⋖ ccvr 40320  LHypclh 41042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-lhyp 41046

This theorem is used by:  lhplt  41058  lhp2lt  41059  lhpexlt  41060  lhpexnle  41064  lhpjat1  41078  lhpmcvr  41081  cdlemb2  41099  lhpat  41101  dih1  42344