Theorem lhp1cvr 40459

Description: The lattice unity covers a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp1cvr.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhp1cvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhp1cvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp1cvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Proof of Theorem lhp1cvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		lhp1cvr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		lhp1cvr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhp1cvr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp 40456	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐶 1 )))
6	5	simplbda 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  1.cp1 18379   ⋖ ccvr 39722  LHypclh 40444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-lhyp 40448

This theorem is referenced by:  lhplt  40460  lhp2lt  40461  lhpexlt  40462  lhpexnle  40466  lhpjat1  40480  lhpmcvr  40483  cdlemb2  40501  lhpat  40503  dih1  41746