Theorem lhp1cvr 39993

Description: The lattice unity covers a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp1cvr.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhp1cvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhp1cvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp1cvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Proof of Theorem lhp1cvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		lhp1cvr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		lhp1cvr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhp1cvr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp 39990	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐶 1 )))
6	5	simplbda 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  1.cp1 18383   ⋖ ccvr 39255  LHypclh 39978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-lhyp 39982

This theorem is referenced by:  lhplt  39994  lhp2lt  39995  lhpexlt  39996  lhpexnle  40000  lhpjat1  40014  lhpmcvr  40017  cdlemb2  40035  lhpat  40037  dih1  41280