Theorem lhp1cvr 40171

Description: The lattice unity covers a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp1cvr.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhp1cvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhp1cvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp1cvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Proof of Theorem lhp1cvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		lhp1cvr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		lhp1cvr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhp1cvr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp 40168	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐶 1 )))
6	5	simplbda 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  1.cp1 18336   ⋖ ccvr 39434  LHypclh 40156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-lhyp 40160

This theorem is referenced by:  lhplt  40172  lhp2lt  40173  lhpexlt  40174  lhpexnle  40178  lhpjat1  40192  lhpmcvr  40195  cdlemb2  40213  lhpat  40215  dih1  41458