Theorem lhp1cvr 40000

Description: The lattice unity covers a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp1cvr.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhp1cvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhp1cvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp1cvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Proof of Theorem lhp1cvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		lhp1cvr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		lhp1cvr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhp1cvr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp 39997	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐶 1 )))
6	5	simplbda 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  1.cp1 18390   ⋖ ccvr 39262  LHypclh 39985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-lhyp 39989

This theorem is referenced by:  lhplt  40001  lhp2lt  40002  lhpexlt  40003  lhpexnle  40007  lhpjat1  40021  lhpmcvr  40024  cdlemb2  40042  lhpat  40044  dih1  41287