Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpjat1 39194
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpjat.u 1 = (1.β€˜πΎ)
lhpjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpjat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpjat1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhpjat.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 39172 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54ad2antlr 723 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 simprl 767 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
7 lhpjat.u . . . 4 1 = (1.β€˜πΎ)
8 eqid 2730 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
97, 8, 3lhp1cvr 39173 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
109adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
11 simprr 769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
12 lhpjat.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 lhpjat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 lhpjat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
152, 12, 13, 7, 8, 141cvrjat 38649 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )
161, 5, 6, 10, 11, 15syl32anc 1376 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  1.cp1 18381   β‹– ccvr 38435  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162
This theorem is referenced by:  lhpjat2  39195  lhpj1  39196  trljat1  39340  trljat2  39341  cdlemc1  39365  cdlemc6  39370  cdleme20c  39485  cdleme20j  39492  trlcolem  39900
  Copyright terms: Public domain W3C validator