Theorem lhpjat1 40039

Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhpjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpjat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpjat1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpjat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40017	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		simprl 770	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		lhpjat.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
8		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 3	lhp1cvr 40018	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
11		simprr 772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhpjat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhpjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		lhpjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	2, 12, 13, 7, 8, 14	1cvrjat 39494	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )
16	1, 5, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1380	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  joincjn 18323  1.cp1 18434   ⋖ ccvr 39280  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-lhyp 40007

This theorem is referenced by:  lhpjat2  40040  lhpj1  40041  trljat1  40185  trljat2  40186  cdlemc1  40210  cdlemc6  40215  cdleme20c  40330  cdleme20j  40337  trlcolem  40745