Theorem lhpjat1 40656

Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhpjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpjat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpjat1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpjat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40634	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	ad2antlr 739	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		simprl 782	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		lhpjat.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 3	lhp1cvr 40635	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
10	9	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
11		simprr 784	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhpjat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhpjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		lhpjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	2, 12, 13, 7, 8, 14	1cvrjat 40111	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )
16	1, 5, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1401	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  lecple 17307  joincjn 18357  1.cp1 18468   ⋖ ccvr 39898  Atomscatm 39899  HLchlt 39986  LHypclh 40620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-lhyp 40624

This theorem is referenced by:  lhpjat2  40657  lhpj1  40658  trljat1  40802  trljat2  40803  cdlemc1  40827  cdlemc6  40832  cdleme20c  40947  cdleme20j  40954  trlcolem  41362