Theorem lhpjat1 37771

Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unit. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhpjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpjat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpjat1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpjat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 37749	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		simprl 771	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		lhpjat.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 3	lhp1cvr 37750	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
10	9	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
11		simprr 773	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhpjat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhpjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		lhpjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	2, 12, 13, 7, 8, 14	1cvrjat 37226	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )
16	1, 5, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1380	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  1.cp1 17930   ⋖ ccvr 37013  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LHypclh 37735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-lhyp 37739

This theorem is referenced by:  lhpjat2  37772  lhpj1  37773  trljat1  37917  trljat2  37918  cdlemc1  37942  cdlemc6  37947  cdleme20c  38062  cdleme20j  38069  trlcolem  38477