Theorem lhpjat1 40519

Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpjat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpjat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhpjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpjat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpjat1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpjat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40497	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	ad2antlr 733	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		simprl 776	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		lhpjat.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 3	lhp1cvr 40498	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
10	9	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
11		simprr 778	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhpjat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhpjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		lhpjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	2, 12, 13, 7, 8, 14	1cvrjat 39974	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )
16	1, 5, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1386	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ 𝑃) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  lecple 17225  joincjn 18275  1.cp1 18386   ⋖ ccvr 39761  Atomscatm 39762  HLchlt 39849  LHypclh 40483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-lhyp 40487

This theorem is referenced by:  lhpjat2  40520  lhpj1  40521  trljat1  40665  trljat2  40666  cdlemc1  40690  cdlemc6  40695  cdleme20c  40810  cdleme20j  40817  trlcolem  41225