Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpjat1 38369
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpjat.u 1 = (1.β€˜πΎ)
lhpjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpjat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpjat1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2738 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhpjat.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 38347 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54ad2antlr 726 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 simprl 770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
7 lhpjat.u . . . 4 1 = (1.β€˜πΎ)
8 eqid 2738 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
97, 8, 3lhp1cvr 38348 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
109adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
11 simprr 772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
12 lhpjat.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 lhpjat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 lhpjat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
152, 12, 13, 7, 8, 141cvrjat 37824 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )
161, 5, 6, 10, 11, 15syl32anc 1379 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  lecple 17075  joincjn 18135  1.cp1 18248   β‹– ccvr 37610  Atomscatm 37611  HLchlt 37698  LHypclh 38333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-proset 18119  df-poset 18137  df-plt 18154  df-lub 18170  df-glb 18171  df-join 18172  df-meet 18173  df-p0 18249  df-p1 18250  df-lat 18256  df-clat 18323  df-oposet 37524  df-ol 37526  df-oml 37527  df-covers 37614  df-ats 37615  df-atl 37646  df-cvlat 37670  df-hlat 37699  df-lhyp 38337
This theorem is referenced by:  lhpjat2  38370  lhpj1  38371  trljat1  38515  trljat2  38516  cdlemc1  38540  cdlemc6  38545  cdleme20c  38660  cdleme20j  38667  trlcolem  39075
  Copyright terms: Public domain W3C validator