Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpjat1 38378
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpjat.u 1 = (1.β€˜πΎ)
lhpjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpjat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpjat1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat1
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhpjat.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 38356 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54ad2antlr 725 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 simprl 769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
7 lhpjat.u . . . 4 1 = (1.β€˜πΎ)
8 eqid 2737 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
97, 8, 3lhp1cvr 38357 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
109adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
11 simprr 771 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
12 lhpjat.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 lhpjat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 lhpjat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
152, 12, 13, 7, 8, 141cvrjat 37833 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )
161, 5, 6, 10, 11, 15syl32anc 1378 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  lecple 17074  joincjn 18134  1.cp1 18247   β‹– ccvr 37619  Atomscatm 37620  HLchlt 37707  LHypclh 38342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18118  df-poset 18136  df-plt 18153  df-lub 18169  df-glb 18170  df-join 18171  df-meet 18172  df-p0 18248  df-p1 18249  df-lat 18255  df-clat 18322  df-oposet 37533  df-ol 37535  df-oml 37536  df-covers 37623  df-ats 37624  df-atl 37655  df-cvlat 37679  df-hlat 37708  df-lhyp 38346
This theorem is referenced by:  lhpjat2  38379  lhpj1  38380  trljat1  38524  trljat2  38525  cdlemc1  38549  cdlemc6  38554  cdleme20c  38669  cdleme20j  38676  trlcolem  39084
  Copyright terms: Public domain W3C validator