Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexnle 38364
Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   π‘Š,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
2 eqid 2737 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 lhp2a.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhp1cvr 38357 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
5 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
76, 3lhpbase 38356 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 hlop 37719 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
106, 1op1cl 37542 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1211adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 lhp2a.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 eqid 2737 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
15 lhp2a.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 37771 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (1.β€˜πΎ))))
175, 8, 12, 16syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (1.β€˜πΎ))))
184, 17mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (1.β€˜πΎ)))
19 simpl 483 . . 3 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (1.β€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
2019reximi 3085 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑝) = (1.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
2118, 20syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  lecple 17074  joincjn 18134  1.cp1 18247  OPcops 37529   β‹– ccvr 37619  Atomscatm 37620  HLchlt 37707  LHypclh 38342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18118  df-poset 18136  df-plt 18153  df-lub 18169  df-glb 18170  df-join 18171  df-meet 18172  df-p0 18248  df-p1 18249  df-lat 18255  df-clat 18322  df-oposet 37533  df-ol 37535  df-oml 37536  df-covers 37623  df-ats 37624  df-atl 37655  df-cvlat 37679  df-hlat 37708  df-lhyp 38346
This theorem is referenced by:  trlcnv  38523  trlator0  38529  trlid0  38534  trlnidatb  38535  cdlemf2  38920  cdlemg1cex  38946  trlco  39085  cdlemg44  39091
  Copyright terms: Public domain W3C validator