Theorem lhpexnle 40205

Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lhp2a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp1cvr 40198	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	lhpbase 40197	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		hlop 39561	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	6, 1	op1cl 39384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		lhp2a.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		lhp2a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	6, 13, 14, 2, 15	cvrval3 39612	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
17	5, 8, 12, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
18	4, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19		simpl 482	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
20	19	reximi 3072	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
21	18, 20	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  lecple 17182  joincjn 18232  1.cp1 18343  OPcops 39371   ⋖ ccvr 39461  Atomscatm 39462  HLchlt 39549  LHypclh 40183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-lhyp 40187

This theorem is referenced by:  trlcnv  40364  trlator0  40370  trlid0  40375  trlnidatb  40376  cdlemf2  40761  cdlemg1cex  40787  trlco  40926  cdlemg44  40932