Theorem lhpexnle 39963

Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lhp2a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp1cvr 39956	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	lhpbase 39955	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		hlop 39318	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	6, 1	op1cl 39141	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		lhp2a.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		lhp2a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	6, 13, 14, 2, 15	cvrval3 39370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
17	5, 8, 12, 16	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
18	4, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19		simpl 482	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
20	19	reximi 3090	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
21	18, 20	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  1.cp1 18494  OPcops 39128   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945

This theorem is referenced by:  trlcnv  40122  trlator0  40128  trlid0  40133  trlnidatb  40134  cdlemf2  40519  cdlemg1cex  40545  trlco  40684  cdlemg44  40690