Theorem lhpexnle 41203

Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lhp2a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp1cvr 41196	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	lhpbase 41195	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		hlop 40559	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	6, 1	op1cl 40382	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		lhp2a.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		lhp2a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	6, 13, 14, 2, 15	cvrval3 40610	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
17	5, 8, 12, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
18	4, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19		simpl 488	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
20	19	reximi 3103	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
21	18, 20	syl 18	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  lecple 17447  joincjn 18497  1.cp1 18608  OPcops 40369   ⋖ ccvr 40459  Atomscatm 40460  HLchlt 40547  LHypclh 41181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-lhyp 41185

This theorem is used by:  trlcnv  41362  trlator0  41368  trlid0  41373  trlnidatb  41374  cdlemf2  41759  cdlemg1cex  41785  trlco  41924  cdlemg44  41930