Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexnle 37575
 Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l = (le‘𝐾)
lhp2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . 4 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2 eqid 2759 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 lhp2a.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhp1cvr 37568 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5 simpl 487 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6 eqid 2759 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 3lhpbase 37567 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
87adantl 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 hlop 36931 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
106, 1op1cl 36754 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1211adantr 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13 lhp2a.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
14 eqid 2759 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15 lhp2a.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 36982 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
175, 8, 12, 16syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
184, 17mpbid 235 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19 simpl 487 . . 3 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 𝑊)
2019reximi 3172 . 2 (∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2118, 20syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  lecple 16623  joincjn 17613  1.cp1 17707  OPcops 36741   ⋖ ccvr 36831  Atomscatm 36832  HLchlt 36919  LHypclh 37553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17597  df-poset 17615  df-plt 17627  df-lub 17643  df-glb 17644  df-join 17645  df-meet 17646  df-p0 17708  df-p1 17709  df-lat 17715  df-clat 17777  df-oposet 36745  df-ol 36747  df-oml 36748  df-covers 36835  df-ats 36836  df-atl 36867  df-cvlat 36891  df-hlat 36920  df-lhyp 37557 This theorem is referenced by:  trlcnv  37734  trlator0  37740  trlid0  37745  trlnidatb  37746  cdlemf2  38131  cdlemg1cex  38157  trlco  38296  cdlemg44  38302
 Copyright terms: Public domain W3C validator