Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexnle 35894
Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l = (le‘𝐾)
lhp2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . 4 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2 eqid 2765 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 lhp2a.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhp1cvr 35887 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5 simpl 474 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 3lhpbase 35886 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
87adantl 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 hlop 35250 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
106, 1op1cl 35073 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1211adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13 lhp2a.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
14 eqid 2765 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15 lhp2a.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 35301 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
175, 8, 12, 16syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
184, 17mpbid 223 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19 simpl 474 . . 3 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 𝑊)
2019reximi 3157 . 2 (∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2118, 20syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  lecple 16223  joincjn 17212  1.cp1 17306  OPcops 35060  ccvr 35150  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LHypclh 35872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-lhyp 35876
This theorem is referenced by:  trlcnv  36053  trlator0  36059  trlid0  36064  trlnidatb  36065  cdlemf2  36450  cdlemg1cex  36476  trlco  36615  cdlemg44  36621
  Copyright terms: Public domain W3C validator