Theorem lhpexnle 36673

Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lhp2a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp1cvr 36666	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	lhpbase 36665	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		hlop 36029	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	6, 1	op1cl 35852	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		lhp2a.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		lhp2a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	6, 13, 14, 2, 15	cvrval3 36080	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
17	5, 8, 12, 16	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
18	4, 17	mpbid 233	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19		simpl 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
20	19	reximi 3207	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
21	18, 20	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  1.cp1 17477  OPcops 35839   ⋖ ccvr 35929  Atomscatm 35930  HLchlt 36017  LHypclh 36651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-lhyp 36655

This theorem is referenced by:  trlcnv  36832  trlator0  36838  trlid0  36843  trlnidatb  36844  cdlemf2  37229  cdlemg1cex  37255  trlco  37394  cdlemg44  37400