Theorem lhpexnle 40276

Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lhpexnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lhp2a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp1cvr 40269	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	lhpbase 40268	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		hlop 39632	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	6, 1	op1cl 39455	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
13		lhp2a.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		lhp2a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	6, 13, 14, 2, 15	cvrval3 39683	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
17	5, 8, 12, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾))))
18	4, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)))
19		simpl 482	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
20	19	reximi 3074	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑊(join‘𝐾)𝑝) = (1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
21	18, 20	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  1.cp1 18345  OPcops 39442   ⋖ ccvr 39532  Atomscatm 39533  HLchlt 39620  LHypclh 40254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39446  df-ol 39448  df-oml 39449  df-covers 39536  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621  df-lhyp 40258

This theorem is referenced by:  trlcnv  40435  trlator0  40441  trlid0  40446  trlnidatb  40447  cdlemf2  40832  cdlemg1cex  40858  trlco  40997  cdlemg44  41003