Theorem lhplt 41323

Description: An atom under a co-atom is strictly less than it. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhplt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhplt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhplt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhplt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhplt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

Proof of Theorem lhplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		lhplt.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 41321	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	ad2antlr 740	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 4	lhp1cvr 41322	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
11		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhplt.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhplt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
14		lhplt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	3, 12, 13, 7, 8, 14	1cvratlt 40797	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)
16	1, 2, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1406	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479  ltcplt 18532  1.cp1 18646   ⋖ ccvr 40585  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LHypclh 41307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-lhyp 41311

This theorem is used by:  lhpexle1  41331