Theorem lhplt 38014

Description: An atom under a co-atom is strictly less than it. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhplt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhplt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhplt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhplt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhplt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

Proof of Theorem lhplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprl 768	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		lhplt.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 38012	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	ad2antlr 724	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 4	lhp1cvr 38013	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
10	9	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
11		simprr 770	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhplt.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhplt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
14		lhplt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	3, 12, 13, 7, 8, 14	1cvratlt 37488	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)
16	1, 2, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1377	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  ltcplt 18026  1.cp1 18142   ⋖ ccvr 37276  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-lhyp 38002

This theorem is referenced by:  lhpexle1  38022