Theorem lhplt 40832

Description: An atom under a co-atom is strictly less than it. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhplt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhplt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhplt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhplt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhplt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

Proof of Theorem lhplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		lhplt.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 40830	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	ad2antlr 740	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 4	lhp1cvr 40831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
11		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhplt.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhplt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
14		lhplt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	3, 12, 13, 7, 8, 14	1cvratlt 40306	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)
16	1, 2, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1405	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  ltcplt 18386  1.cp1 18500   ⋖ ccvr 40094  Atomscatm 40095  HLchlt 40182  LHypclh 40816

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-lhyp 40820

This theorem is used by:  lhpexle1  40840