Theorem lhplt 40624

Description: An atom under a co-atom is strictly less than it. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhplt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhplt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhplt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhplt.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhplt	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

Proof of Theorem lhplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 776	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprl 780	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		lhplt.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 40622	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	ad2antlr 737	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9	7, 8, 4	lhp1cvr 40623	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
10	9	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
11		simprr 782	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ 𝑊)
12		lhplt.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		lhplt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
14		lhplt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	3, 12, 13, 7, 8, 14	1cvratlt 40098	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)
16	1, 2, 6, 10, 11, 15	syl32anc 1397	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  lecple 17293  ltcplt 18340  1.cp1 18454   ⋖ ccvr 39886  Atomscatm 39887  HLchlt 39974  LHypclh 40608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-lhyp 40612

This theorem is referenced by:  lhpexle1  40632