Theorem lhpexlt 40020

Description: There exists an atom less than a co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpatltex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhpatltex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpatltex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑝)

Proof of Theorem lhpexlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpatltex.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40016	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8	6, 7, 3	lhp1cvr 40017	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
9		lhpatltex.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		lhpatltex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	2, 9, 6, 7, 10	1cvratex 39491	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)
12	1, 5, 8, 11	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  ltcplt 18206  1.cp1 18320   ⋖ ccvr 39280  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-lhyp 40006

This theorem is referenced by:  lhp0lt  40021