Theorem lhpexlt 41262

Description: There exists an atom less than a co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpatltex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhpatltex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpatltex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑝)

Proof of Theorem lhpexlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpatltex.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 41258	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8	6, 7, 3	lhp1cvr 41259	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
9		lhpatltex.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		lhpatltex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	2, 9, 6, 7, 10	1cvratex 40733	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)
12	1, 5, 8, 11	syl3anc 1399	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  ltcplt 18514  1.cp1 18628   ⋖ ccvr 40522  Atomscatm 40523  HLchlt 40610  LHypclh 41244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-p1 18630  df-lat 18638  df-clat 18705  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611  df-lhyp 41248

This theorem is used by:  lhp0lt  41263