Theorem lhpexlt 40107

Description: There exists an atom less than a co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpatltex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhpatltex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpatltex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑝)

Proof of Theorem lhpexlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpatltex.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40103	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8	6, 7, 3	lhp1cvr 40104	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
9		lhpatltex.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		lhpatltex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	2, 9, 6, 7, 10	1cvratex 39578	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)
12	1, 5, 8, 11	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  ltcplt 18220  1.cp1 18334   ⋖ ccvr 39367  Atomscatm 39368  HLchlt 39455  LHypclh 40089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18206  df-poset 18225  df-plt 18240  df-lub 18256  df-glb 18257  df-join 18258  df-meet 18259  df-p0 18335  df-p1 18336  df-lat 18344  df-clat 18411  df-oposet 39281  df-ol 39283  df-oml 39284  df-covers 39371  df-ats 39372  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456  df-lhyp 40093

This theorem is referenced by:  lhp0lt  40108