Theorem lhpat 40744

Description: Create an atom under a co-atom. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1214	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2l 1216	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp3l 1218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		simp1r 1215	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		lhpat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	5, 6	lhpbase 40699	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp3r 1219	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
12	10, 11, 6	lhp1cvr 40700	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
13	12	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
14		simp2r 1217	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
15		lhpat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		lhpat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17		lhpat.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
18		lhpat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19	5, 15, 16, 17, 10, 11, 18	1cvrat 40177	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
20	1, 2, 3, 8, 9, 13, 14, 19	syl133anc 1418	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271  lecple 17319  joincjn 18369  meetcmee 18370  1.cp1 18480   ⋖ ccvr 39963  Atomscatm 39964  HLchlt 40051  LHypclh 40685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18386  df-lub 18402  df-glb 18403  df-join 18404  df-meet 18405  df-p0 18481  df-p1 18482  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39877  df-ol 39879  df-oml 39880  df-covers 39967  df-ats 39968  df-atl 39999  df-cvlat 40023  df-hlat 40052  df-lhyp 40689

This theorem is referenced by:  lhpat2  40746  4atexlemex6  40775  trlat  40870  cdlemc5  40896  cdleme3e  40933  cdleme7b  40945  cdleme11k  40969  cdleme16e  40983  cdleme16f  40984  cdlemeda  40999  cdleme22cN  41043  cdleme22d  41044  cdleme23b  41051  cdlemf2  41263  cdlemg12g  41350  cdlemg17dALTN  41365  cdlemg19a  41384