Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpat 37358
 Description: Create an atom under a co-atom. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpat.l = (le‘𝐾)
lhpat.j = (join‘𝐾)
lhpat.m = (meet‘𝐾)
lhpat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpat
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2l 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝐴)
3 simp3l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑄𝐴)
4 simp1r 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑊𝐻)
5 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 lhpat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 37313 . . 3 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp3r 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝑄)
10 eqid 2798 . . . 4 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
11 eqid 2798 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
1210, 11, 6lhp1cvr 37314 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
13123ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
14 simp2r 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ¬ 𝑃 𝑊)
15 lhpat.l . . 3 = (le‘𝐾)
16 lhpat.j . . 3 = (join‘𝐾)
17 lhpat.m . . 3 = (meet‘𝐾)
18 lhpat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
195, 15, 16, 17, 10, 11, 181cvrat 36791 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝑄𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
201, 2, 3, 8, 9, 13, 14, 19syl133anc 1390 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  meetcmee 17550  1.cp1 17643   ⋖ ccvr 36577  Atomscatm 36578  HLchlt 36665  LHypclh 37299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-lhyp 37303 This theorem is referenced by:  lhpat2  37360  4atexlemex6  37389  trlat  37484  cdlemc5  37510  cdleme3e  37547  cdleme7b  37559  cdleme11k  37583  cdleme16e  37597  cdleme16f  37598  cdlemeda  37613  cdleme22cN  37657  cdleme22d  37658  cdleme23b  37665  cdlemf2  37877  cdlemg12g  37964  cdlemg17dALTN  37979  cdlemg19a  37998
 Copyright terms: Public domain W3C validator