Theorem dih1 41273

Description: The value of isomorphism H at the lattice unity is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1.m	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
dih1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)

Proof of Theorem dih1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihvalrel 41266	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘ 1 ))
4		relxp 5649	. . 3 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dih1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dih1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	dvhvbase 41074	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
10	9	releqd 5733	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
11	4, 10	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel 𝑉)
12		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hlop 39348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
15		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21	18, 19, 20, 1	lhpocnel 40005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
24	18, 20, 1, 5, 23	ltrniotacl 40566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
25	15, 22, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26	1, 5, 6	tendocl 40754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
27	15, 17, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
28	1, 5	ltrncnv 40133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	27, 28	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30	1, 5	ltrnco 40706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
31	15, 16, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
32		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
34	32, 1, 5, 33	trlcl 40151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
35	31, 34	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
36		dih1.m	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
37	32, 18, 36	ople1 39177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
38	14, 35, 37	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 ))
40	39	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
41	9	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
42		opelxp 5667	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
43	41, 42	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
44	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
45	32, 36	op1cl 39171	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
47		hlpos 39352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
48	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ Poset)
49	32, 1	lhpbase 39985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
51		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
52	36, 51, 1	lhp1cvr 39986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
53	32, 18, 51	cvrnle 39266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
54	48, 50, 46, 52, 53	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
55		hlol 39347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
56		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
57	32, 56, 36	olm12 39214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
58	55, 49, 57	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
59	58	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊))
60		hllat 39349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ Lat)
62	32, 19	opoccl 39180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	13, 49, 62	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
65	32, 64	latjcom 18388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
66	61, 63, 50, 65	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
67	32, 19, 64, 36	opexmid 39193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
68	13, 49, 67	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
69	59, 66, 68	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )
70		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
71		vex 3448	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
72		vex 3448	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
73	32, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72	dihopelvalc 41236	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
74	12, 46, 54, 21, 69, 73	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
75	40, 43, 74	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉))
76	75	eqrelrdv2 5749	. 2 ⊢ (((Rel (𝐼‘ 1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)
77	3, 11, 12, 76	syl21anc 837	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  occoc 17204  Posetcpo 18248  joincjn 18252  meetcmee 18253  1.cp1 18363  Latclat 18372  OPcops 39158  OLcol 39160   ⋖ ccvr 39248  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  LHypclh 39971  LTrncltrn 40088  trLctrl 40145  TEndoctendo 40739  DVecHcdvh 41065  DIsoHcdih 41215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216

This theorem is referenced by:  dih1rn  41274  dih1cnv  41275  dihglb2  41329  doch0  41345  dochocss  41353