Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1 38582
 Description: The value of isomorphism H at the lattice unit is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1.m 1 = (1.‘𝐾)
dih1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dih1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼1 ) = 𝑉)

Proof of Theorem dih1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dih1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 38575 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼1 ))
4 relxp 5537 . . 3 Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5 eqid 2798 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2798 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dih1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dih1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
91, 5, 6, 7, 8dvhvbase 38383 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
109releqd 5617 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
114, 10mpbiri 261 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel 𝑉)
12 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 hlop 36658 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
15 simpl 486 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2118, 19, 20, 1lhpocnel 37314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
23 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
2418, 20, 1, 5, 23ltrniotacl 37875 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2515, 22, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
261, 5, 6tendocl 38063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2715, 17, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
281, 5ltrncnv 37442 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2927, 28syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
301, 5ltrnco 38015 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
3115, 16, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
32 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33 eqid 2798 . . . . . . . . 9 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
3432, 1, 5, 33trlcl 37460 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
3531, 34syldan 594 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
36 dih1.m . . . . . . . 8 1 = (1.‘𝐾)
3732, 18, 36ople1 36487 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
3814, 35, 37syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
3938ex 416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 ))
4039pm4.71d 565 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
419eleq2d 2875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
42 opelxp 5555 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
4341, 42syl6bb 290 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
4413adantr 484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
4532, 36op1cl 36481 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
4644, 45syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
47 hlpos 36662 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4847adantr 484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ Poset)
4932, 1lhpbase 37294 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5049adantl 485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
51 eqid 2798 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5236, 51, 1lhp1cvr 37295 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
5332, 18, 51cvrnle 36576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
5448, 50, 46, 52, 53syl31anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
55 hlol 36657 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
56 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5732, 56, 36olm12 36524 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
5855, 49, 57syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
5958oveq2d 7151 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊))
60 hllat 36659 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6160adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ Lat)
6232, 19opoccl 36490 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
6313, 49, 62syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64 eqid 2798 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6532, 64latjcom 17661 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
6661, 63, 50, 65syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
6732, 19, 64, 36opexmid 36503 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
6813, 49, 67syl2an 598 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
6959, 66, 683eqtrd 2837 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )
70 eqid 2798 . . . . . 6 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
71 vex 3444 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
72 vex 3444 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
7332, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72dihopelvalc 38545 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
7412, 46, 54, 21, 69, 73syl122anc 1376 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
7540, 43, 743bitr4rd 315 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼1 ) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉))
7675eqrelrdv2 5632 . 2 (((Rel (𝐼1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻)) → (𝐼1 ) = 𝑉)
773, 11, 12, 76syl21anc 836 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼1 ) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ◡ccnv 5518   ∘ ccom 5523  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  ℩crio 7092  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  occoc 16565  Posetcpo 17542  joincjn 17546  meetcmee 17547  1.cp1 17640  Latclat 17647  OPcops 36468  OLcol 36470   ⋖ ccvr 36558  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  trLctrl 37454  TEndoctendo 38048  DVecHcdvh 38374  DIsoHcdih 38524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525 This theorem is referenced by:  dih1rn  38583  dih1cnv  38584  dihglb2  38638  doch0  38654  dochocss  38662
 Copyright terms: Public domain W3C validator