Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih1 37064
Description: The value of isomorphism H at the lattice unit is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1.m 1 = (1.‘𝐾)
dih1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dih1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼1 ) = 𝑉)

Proof of Theorem dih1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dih1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 37057 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼1 ))
4 relxp 5328 . . 3 Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5 eqid 2806 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2806 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dih1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dih1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
91, 5, 6, 7, 8dvhvbase 36865 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
109releqd 5405 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
114, 10mpbiri 249 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel 𝑉)
12 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 hlop 35140 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1413ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
15 simpl 470 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simprl 778 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17 simprr 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2118, 19, 20, 1lhpocnel 35796 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
2221adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
23 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
2418, 20, 1, 5, 23ltrniotacl 36357 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2515, 22, 22, 24syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
261, 5, 6tendocl 36545 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2715, 17, 25, 26syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
281, 5ltrncnv 35924 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2927, 28syldan 581 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
301, 5ltrnco 36497 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
3115, 16, 29, 30syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
32 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33 eqid 2806 . . . . . . . . 9 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
3432, 1, 5, 33trlcl 35942 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
3531, 34syldan 581 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
36 dih1.m . . . . . . . 8 1 = (1.‘𝐾)
3732, 18, 36ople1 34969 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
3814, 35, 37syl2anc 575 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
3938ex 399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 ))
4039pm4.71d 553 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
419eleq2d 2871 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
42 opelxp 5346 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
4341, 42syl6bb 278 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
4413adantr 468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
4532, 36op1cl 34963 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
4644, 45syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
47 hlpos 35144 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4847adantr 468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ Poset)
4932, 1lhpbase 35776 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5049adantl 469 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
51 eqid 2806 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5236, 51, 1lhp1cvr 35777 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
5332, 18, 51cvrnle 35058 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
5448, 50, 46, 52, 53syl31anc 1485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
55 hlol 35139 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
56 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5732, 56, 36olm12 35006 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
5855, 49, 57syl2an 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
5958oveq2d 6886 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊))
60 hllat 35141 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6160adantr 468 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ Lat)
6232, 19opoccl 34972 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
6313, 49, 62syl2an 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64 eqid 2806 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6532, 64latjcom 17260 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
6661, 63, 50, 65syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
6732, 19, 64, 36opexmid 34985 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
6813, 49, 67syl2an 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
6959, 66, 683eqtrd 2844 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )
70 eqid 2806 . . . . . 6 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
71 vex 3394 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
72 vex 3394 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
7332, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72dihopelvalc 37027 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
7412, 46, 54, 21, 69, 73syl122anc 1491 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓(𝑠‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
7540, 43, 743bitr4rd 303 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼1 ) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉))
7675eqrelrdv2 5421 . 2 (((Rel (𝐼1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻)) → (𝐼1 ) = 𝑉)
773, 11, 12, 76syl21anc 857 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼1 ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  cop 4376   class class class wbr 4844   × cxp 5309  ccnv 5310  ccom 5315  Rel wrel 5316  cfv 6097  crio 6830  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  lecple 16156  occoc 16157  Posetcpo 17141  joincjn 17145  meetcmee 17146  1.cp1 17239  Latclat 17246  OPcops 34950  OLcol 34952  ccvr 35040  Atomscatm 35041  HLchlt 35128  LHypclh 35762  LTrncltrn 35879  trLctrl 35936  TEndoctendo 36530  DVecHcdvh 36856  DIsoHcdih 37006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-riotaBAD 34730
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-tpos 7583  df-undef 7630  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16303  df-proset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17789  df-cntz 17947  df-lsm 18248  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19175  df-lvec 19306  df-oposet 34954  df-ol 34956  df-oml 34957  df-covers 35044  df-ats 35045  df-atl 35076  df-cvlat 35100  df-hlat 35129  df-llines 35276  df-lplanes 35277  df-lvols 35278  df-lines 35279  df-psubsp 35281  df-pmap 35282  df-padd 35574  df-lhyp 35766  df-laut 35767  df-ldil 35882  df-ltrn 35883  df-trl 35937  df-tendo 36533  df-edring 36535  df-disoa 36807  df-dvech 36857  df-dib 36917  df-dic 36951  df-dih 37007
This theorem is referenced by:  dih1rn  37065  dih1cnv  37066  dihglb2  37120  doch0  37136  dochocss  37144
  Copyright terms: Public domain W3C validator