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Theorem dih1 39635
Description: The value of isomorphism H at the lattice unity is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1.m 1 = (1.β€˜πΎ)
dih1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dih1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜ 1 ) = 𝑉)

Proof of Theorem dih1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dih1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2dihvalrel 39628 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜ 1 ))
4 relxp 5649 . . 3 Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 eqid 2738 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2738 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dih1.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dih1.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
91, 5, 6, 7, 8dvhvbase 39436 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
109releqd 5731 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
114, 10mpbiri 258 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel 𝑉)
12 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 hlop 37710 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
15 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
17 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
19 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
20 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
2118, 19, 20, 1lhpocnel 38367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
23 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2418, 20, 1, 5, 23ltrniotacl 38928 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2515, 22, 22, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
261, 5, 6tendocl 39116 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2715, 17, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
281, 5ltrncnv 38495 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2927, 28syldan 592 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
301, 5ltrnco 39068 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3115, 16, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
32 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
33 eqid 2738 . . . . . . . . 9 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3432, 1, 5, 33trlcl 38513 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3531, 34syldan 592 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 dih1.m . . . . . . . 8 1 = (1.β€˜πΎ)
3732, 18, 36ople1 37539 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )
3814, 35, 37syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )
3938ex 414 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 ))
4039pm4.71d 563 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )))
419eleq2d 2824 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉 ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
42 opelxp 5667 . . . . 5 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4341, 42bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
4413adantr 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4532, 36op1cl 37533 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4644, 45syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
47 hlpos 37714 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4847adantr 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4932, 1lhpbase 38347 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5049adantl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
51 eqid 2738 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
5236, 51, 1lhp1cvr 38348 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
5332, 18, 51cvrnle 37628 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 ) β†’ Β¬ 1 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
5448, 50, 46, 52, 53syl31anc 1374 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Β¬ 1 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
55 hlol 37709 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
56 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
5732, 56, 36olm12 37576 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Š)
5855, 49, 57syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Š)
5958oveq2d 7366 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)π‘Š))
60 hllat 37711 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6160adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6232, 19opoccl 37542 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6313, 49, 62syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
64 eqid 2738 . . . . . . . 8 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
6532, 64latjcom 18271 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)π‘Š) = (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6661, 63, 50, 65syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)π‘Š) = (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6732, 19, 64, 36opexmid 37555 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 1 )
6813, 49, 67syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 1 )
6959, 66, 683eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 1 )
70 eqid 2738 . . . . . 6 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
71 vex 3448 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
72 vex 3448 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
7332, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72dihopelvalc 39598 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 1 (leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 1 )) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )))
7412, 46, 54, 21, 69, 73syl122anc 1380 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )))
7540, 43, 743bitr4rd 312 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜ 1 ) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉))
7675eqrelrdv2 5748 . 2 (((Rel (πΌβ€˜ 1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ (πΌβ€˜ 1 ) = 𝑉)
773, 11, 12, 76syl21anc 837 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜ 1 ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4591   class class class wbr 5104   Γ— cxp 5629  β—‘ccnv 5630   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636  β€˜cfv 6492  β„©crio 7305  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  lecple 17075  occoc 17076  Posetcpo 18131  joincjn 18135  meetcmee 18136  1.cp1 18248  Latclat 18255  OPcops 37520  OLcol 37522   β‹– ccvr 37610  Atomscatm 37611  HLchlt 37698  LHypclh 38333  LTrncltrn 38450  trLctrl 38507  TEndoctendo 39101  DVecHcdvh 39427  DIsoHcdih 39577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-riotaBAD 37301
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-undef 8172  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-0g 17258  df-proset 18119  df-poset 18137  df-plt 18154  df-lub 18170  df-glb 18171  df-join 18172  df-meet 18173  df-p0 18249  df-p1 18250  df-lat 18256  df-clat 18323  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-cntz 19029  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-dvr 20035  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-lvec 20487  df-oposet 37524  df-ol 37526  df-oml 37527  df-covers 37614  df-ats 37615  df-atl 37646  df-cvlat 37670  df-hlat 37699  df-llines 37847  df-lplanes 37848  df-lvols 37849  df-lines 37850  df-psubsp 37852  df-pmap 37853  df-padd 38145  df-lhyp 38337  df-laut 38338  df-ldil 38453  df-ltrn 38454  df-trl 38508  df-tendo 39104  df-edring 39106  df-disoa 39378  df-dvech 39428  df-dib 39488  df-dic 39522  df-dih 39578
This theorem is referenced by:  dih1rn  39636  dih1cnv  39637  dihglb2  39691  doch0  39707  dochocss  39715
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