Theorem dih1 40945

Description: The value of isomorphism H at the lattice unity is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1.m	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
dih1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)

Proof of Theorem dih1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihvalrel 40938	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘ 1 ))
4		relxp 5699	. . 3 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dih1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dih1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	dvhvbase 40746	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
10	9	releqd 5783	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
11	4, 10	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel 𝑉)
12		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hlop 39020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
15		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21	18, 19, 20, 1	lhpocnel 39677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
22	21	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
23		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
24	18, 20, 1, 5, 23	ltrniotacl 40238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
25	15, 22, 22, 24	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26	1, 5, 6	tendocl 40426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
27	15, 17, 25, 26	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
28	1, 5	ltrncnv 39805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	27, 28	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30	1, 5	ltrnco 40378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
31	15, 16, 29, 30	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
32		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
34	32, 1, 5, 33	trlcl 39823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
35	31, 34	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
36		dih1.m	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
37	32, 18, 36	ople1 38849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
38	14, 35, 37	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
39	38	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 ))
40	39	pm4.71d 560	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
41	9	eleq2d 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
42		opelxp 5717	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
43	41, 42	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
44	13	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
45	32, 36	op1cl 38843	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
47		hlpos 39024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
48	47	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ Poset)
49	32, 1	lhpbase 39657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
50	49	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
51		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
52	36, 51, 1	lhp1cvr 39658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
53	32, 18, 51	cvrnle 38938	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
54	48, 50, 46, 52, 53	syl31anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
55		hlol 39019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
56		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
57	32, 56, 36	olm12 38886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
58	55, 49, 57	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
59	58	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊))
60		hllat 39021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
61	60	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ Lat)
62	32, 19	opoccl 38852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	13, 49, 62	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
65	32, 64	latjcom 18467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
66	61, 63, 50, 65	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
67	32, 19, 64, 36	opexmid 38865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
68	13, 49, 67	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
69	59, 66, 68	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )
70		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
71		vex 3465	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
72		vex 3465	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
73	32, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72	dihopelvalc 40908	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
74	12, 46, 54, 21, 69, 73	syl122anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
75	40, 43, 74	3bitr4rd 311	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉))
76	75	eqrelrdv2 5800	. 2 ⊢ (((Rel (𝐼‘ 1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)
77	3, 11, 12, 76	syl21anc 836	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4638   class class class wbr 5152   × cxp 5679  ^◡ccnv 5680   ∘ ccom 5685  Rel wrel 5686  ‘cfv 6553  ℩crio 7378  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  lecple 17268  occoc 17269  Posetcpo 18327  joincjn 18331  meetcmee 18332  1.cp1 18444  Latclat 18451  OPcops 38830  OLcol 38832   ⋖ ccvr 38920  Atomscatm 38921  HLchlt 39008  LHypclh 39643  LTrncltrn 39760  trLctrl 39817  TEndoctendo 40411  DVecHcdvh 40737  DIsoHcdih 40887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-riotaBAD 38611

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-0g 17451  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-lsm 19629  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20666  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-lvec 21028  df-oposet 38834  df-ol 38836  df-oml 38837  df-covers 38924  df-ats 38925  df-atl 38956  df-cvlat 38980  df-hlat 39009  df-llines 39157  df-lplanes 39158  df-lvols 39159  df-lines 39160  df-psubsp 39162  df-pmap 39163  df-padd 39455  df-lhyp 39647  df-laut 39648  df-ldil 39763  df-ltrn 39764  df-trl 39818  df-tendo 40414  df-edring 40416  df-disoa 40688  df-dvech 40738  df-dib 40798  df-dic 40832  df-dih 40888

This theorem is referenced by:  dih1rn  40946  dih1cnv  40947  dihglb2  41001  doch0  41017  dochocss  41025