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Theorem dih1 40145
Description: The value of isomorphism H at the lattice unity is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1.m 1 = (1.β€˜πΎ)
dih1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dih1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜ 1 ) = 𝑉)
Proof of Theorem dih1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dih1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2dihvalrel 40138 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜ 1 ))
4 relxp 5693 . . 3 Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 eqid 2732 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dih1.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dih1.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
91, 5, 6, 7, 8dvhvbase 39946 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
109releqd 5776 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
114, 10mpbiri 257 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel 𝑉)
12 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 hlop 38220 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
15 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
17 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
2118, 19, 20, 1lhpocnel 38877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2418, 20, 1, 5, 23ltrniotacl 39438 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2515, 22, 22, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
261, 5, 6tendocl 39626 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2715, 17, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
281, 5ltrncnv 39005 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2927, 28syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
301, 5ltrnco 39578 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3115, 16, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
32 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
33 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3432, 1, 5, 33trlcl 39023 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3531, 34syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 dih1.m . . . . . . . 8 1 = (1.β€˜πΎ)
3732, 18, 36ople1 38049 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )
3814, 35, 37syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )
3938ex 413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 ))
4039pm4.71d 562 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )))
419eleq2d 2819 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉 ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
42 opelxp 5711 . . . . 5 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4341, 42bitrdi 286 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
4413adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4532, 36op1cl 38043 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4644, 45syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
47 hlpos 38224 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4847adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4932, 1lhpbase 38857 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5049adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
51 eqid 2732 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
5236, 51, 1lhp1cvr 38858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 )
5332, 18, 51cvrnle 38138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Š( β‹– β€˜πΎ) 1 ) β†’ Β¬ 1 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
5448, 50, 46, 52, 53syl31anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Β¬ 1 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
55 hlol 38219 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
56 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
5732, 56, 36olm12 38086 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Š)
5855, 49, 57syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š) = π‘Š)
5958oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)π‘Š))
60 hllat 38221 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6160adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6232, 19opoccl 38052 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6313, 49, 62syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
64 eqid 2732 . . . . . . . 8 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
6532, 64latjcom 18396 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)π‘Š) = (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6661, 63, 50, 65syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)π‘Š) = (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6732, 19, 64, 36opexmid 38065 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 1 )
6813, 49, 67syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 1 )
6959, 66, 683eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 1 )
70 eqid 2732 . . . . . 6 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
71 vex 3478 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
72 vex 3478 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
7332, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72dihopelvalc 40108 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 1 (leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)( 1 (meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 1 )) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )))
7412, 46, 54, 21, 69, 73syl122anc 1379 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜(℩𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘”β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))(leβ€˜πΎ) 1 )))
7540, 43, 743bitr4rd 311 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜ 1 ) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ 𝑉))
7675eqrelrdv2 5793 . 2 (((Rel (πΌβ€˜ 1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ (πΌβ€˜ 1 ) = 𝑉)
773, 11, 12, 76syl21anc 836 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜ 1 ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  Posetcpo 18256  joincjn 18260  meetcmee 18261  1.cp1 18373  Latclat 18380  OPcops 38030  OLcol 38032   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017  TEndoctendo 39611  DVecHcdvh 39937  DIsoHcdih 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088
This theorem is referenced by:  dih1rn  40146  dih1cnv  40147  dihglb2  40201  doch0  40217  dochocss  40225
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