Theorem dih1 39603

Description: The value of isomorphism H at the lattice unity is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1.m	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
dih1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)

Proof of Theorem dih1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dih1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihvalrel 39596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘ 1 ))
4		relxp 5643	. . 3 ⊢ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		dih1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dih1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9	1, 5, 6, 7, 8	dvhvbase 39404	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
10	9	releqd 5725	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Rel 𝑉 ↔ Rel (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
11	4, 10	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel 𝑉)
12		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hlop 37678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
15		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21	18, 19, 20, 1	lhpocnel 38335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
22	21	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))
24	18, 20, 1, 5, 23	ltrniotacl 38896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
25	15, 22, 22, 24	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26	1, 5, 6	tendocl 39084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
27	15, 17, 25, 26	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
28	1, 5	ltrncnv 38463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	27, 28	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30	1, 5	ltrnco 39036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
31	15, 16, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
32		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
34	32, 1, 5, 33	trlcl 38481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
35	31, 34	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾))
36		dih1.m	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
37	32, 18, 36	ople1 37507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
38	14, 35, 37	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )
39	38	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 ))
40	39	pm4.71d 563	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
41	9	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
42		opelxp 5661	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
43	41, 42	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
44	13	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
45	32, 36	op1cl 37501	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
47		hlpos 37682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
48	47	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ Poset)
49	32, 1	lhpbase 38315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
50	49	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
51		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
52	36, 51, 1	lhp1cvr 38316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 )
53	32, 18, 51	cvrnle 37596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾) 1 ) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
54	48, 50, 46, 52, 53	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊)
55		hlol 37677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
56		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
57	32, 56, 36	olm12 37544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
58	55, 49, 57	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 1 (meet‘𝐾)𝑊) = 𝑊)
59	58	oveq2d 7358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊))
60		hllat 37679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
61	60	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ Lat)
62	32, 19	opoccl 37510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	13, 49, 62	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
65	32, 64	latjcom 18263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
66	61, 63, 50, 65	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)𝑊) = (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)))
67	32, 19, 64, 36	opexmid 37523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
68	13, 49, 67	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 1 )
69	59, 66, 68	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )
70		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
71		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
72		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
73	32, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72	dihopelvalc 39566	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ¬ 1 (le‘𝐾)𝑊) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)( 1 (meet‘𝐾)𝑊)) = 1 )) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
74	12, 46, 54, 21, 69, 73	syl122anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑓 ∘ ◡(𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))(le‘𝐾) 1 )))
75	40, 43, 74	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘ 1 ) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉))
76	75	eqrelrdv2 5742	. 2 ⊢ (((Rel (𝐼‘ 1 ) ∧ Rel 𝑉) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)
77	3, 11, 12, 76	syl21anc 836	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 1 ) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4584   class class class wbr 5097   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624   ∘ ccom 5629  Rel wrel 5630  ‘cfv 6484  ℩crio 7297  (class class class)co 7342  Basecbs 17010  lecple 17067  occoc 17068  Posetcpo 18123  joincjn 18127  meetcmee 18128  1.cp1 18240  Latclat 18247  OPcops 37488  OLcol 37490   ⋖ ccvr 37578  Atomscatm 37579  HLchlt 37666  LHypclh 38301  LTrncltrn 38418  trLctrl 38475  TEndoctendo 39069  DVecHcdvh 39395  DIsoHcdih 39545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-riotaBAD 37269

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-tpos 8117  df-undef 8164  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-0g 17250  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-p1 18242  df-lat 18248  df-clat 18315  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-subg 18849  df-cntz 19020  df-lsm 19338  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-oposet 37492  df-ol 37494  df-oml 37495  df-covers 37582  df-ats 37583  df-atl 37614  df-cvlat 37638  df-hlat 37667  df-llines 37815  df-lplanes 37816  df-lvols 37817  df-lines 37818  df-psubsp 37820  df-pmap 37821  df-padd 38113  df-lhyp 38305  df-laut 38306  df-ldil 38421  df-ltrn 38422  df-trl 38476  df-tendo 39072  df-edring 39074  df-disoa 39346  df-dvech 39396  df-dib 39456  df-dic 39490  df-dih 39546

This theorem is referenced by:  dih1rn  39604  dih1cnv  39605  dihglb2  39659  doch0  39675  dochocss  39683