Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemb2 37044
Description: Given two atoms not under the fiducial (reference) co-atom 𝑊, there is a third. Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 30-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemb2.l = (le‘𝐾)
cdlemb2.j = (join‘𝐾)
cdlemb2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemb2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   ,𝑟   𝐾,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑟)

Proof of Theorem cdlemb2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1191 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2ll 1234 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
3 simp2rl 1236 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
4 simp1r 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊𝐻)
5 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdlemb2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 37001 . . 3 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp3 1132 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
10 eqid 2826 . . . 4 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
11 eqid 2826 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
1210, 11, 6lhp1cvr 37002 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
13123ad2ant1 1127 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
14 simp2lr 1235 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑃 𝑊)
15 simp2rr 1237 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑄 𝑊)
16 cdlemb2.l . . 3 = (le‘𝐾)
17 cdlemb2.j . . 3 = (join‘𝐾)
18 cdlemb2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
195, 16, 17, 10, 11, 18cdlemb 36797 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑄)))
201, 2, 3, 8, 9, 13, 14, 15, 19syl323anc 1394 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ ¬ 𝑟 (𝑃 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  1.cp1 17638  ccvr 36265  Atomscatm 36266  HLchlt 36353  LHypclh 36987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-lhyp 36991
This theorem is referenced by:  cdlemd4  37204  cdlemd9  37209  cdleme25a  37356  cdleme25c  37358  cdleme25dN  37359  cdleme26ee  37363  cdlemefs32sn1aw  37417  cdleme43fsv1snlem  37423  cdleme41sn3a  37436  cdleme40m  37470  cdleme40n  37471  cdleme17d3  37499  cdlemeg46gfre  37535  cdleme50trn2  37554  cdlemb3  37609
  Copyright terms: Public domain W3C validator