Theorem cdlemb2 41192

Description: Given two atoms not under the fiducial (reference) co-atom 𝑊, there is a third. Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 30-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemb2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemb2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemb2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemb2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemb2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   ∨ ,𝑟   𝐾,𝑟   ≤ ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑟)

Proof of Theorem cdlemb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2ll 1259	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2rl 1261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		simp1r 1217	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑊 ∈ 𝐻)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		cdlemb2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	5, 6	lhpbase 41149	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp3 1156	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
12	10, 11, 6	lhp1cvr 41150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
13	12	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
14		simp2lr 1260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
15		simp2rr 1262	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)
16		cdlemb2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17		cdlemb2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18		cdlemb2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19	5, 16, 17, 10, 11, 18	cdlemb 40945	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
20	1, 2, 3, 8, 9, 13, 14, 15, 19	syl323anc 1427	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  lecple 17441  joincjn 18491  1.cp1 18602   ⋖ ccvr 40413  Atomscatm 40414  HLchlt 40501  LHypclh 41135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-p1 18604  df-lat 18612  df-clat 18679  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-lhyp 41139

This theorem is used by:  cdlemd4  41352  cdlemd9  41357  cdleme25a  41504  cdleme25c  41506  cdleme25dN  41507  cdleme26ee  41511  cdlemefs32sn1aw  41565  cdleme43fsv1snlem  41571  cdleme41sn3a  41584  cdleme40m  41618  cdleme40n  41619  cdleme17d3  41647  cdlemeg46gfre  41683  cdleme50trn2  41702  cdlemb3  41757