Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2lt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhp2lt 39383
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2lt.s < = (ltβ€˜πΎ)
lhp2lt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhp2lt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2lt.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š)
Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š)
2 simp3r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ≀ π‘Š)
3 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38745 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 lhp2lt.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38670 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp3l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
116, 7atbase 38670 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 lhp2lt.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
156, 14lhpbase 39380 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 lhp2lt.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
18 lhp2lt.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
196, 17, 18latjle12 18413 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ π‘Š ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š))
204, 9, 12, 16, 19syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ≀ π‘Š ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š))
211, 2, 20mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š)
2218, 17, 73dim2 38850 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
233, 5, 10, 22syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
24 simp11l 1281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
25 hlop 38743 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
2724hllatd 38745 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
28 simp12l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
29 simp13l 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
306, 18, 7hlatjcl 38748 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3124, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp2l 1196 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
336, 7atbase 38670 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
356, 18latjcl 18402 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3627, 31, 34, 35syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
37 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
386, 7atbase 38670 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
406, 18latjcl 18402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4127, 36, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
42 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
43 eqid 2726 . . . . . . . 8 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
446, 42, 43ncvr1 38653 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
4526, 41, 44syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
46 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
47 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4847hllatd 38745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
49 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
50 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5147, 49, 50, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simpr1l 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5448, 51, 53, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5547, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
56 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
576, 46, 56op01dm 38564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP β†’ ((Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
5857simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP β†’ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
606, 46, 17, 42, 47, 54, 59ple1 18393 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ))
61 hlpos 38747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6247, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
636, 42op1cl 38566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6455, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
65 simpr2l 1229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
666, 17, 18, 43, 7cvr1 38792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6747, 51, 52, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6865, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))
69 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)
70 simpl1r 1222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7142, 43, 14lhp1cvr 39381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
7247, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
7369, 72eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
746, 17, 43cvrcmp 38664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ)))
7562, 54, 64, 51, 68, 73, 74syl132anc 1385 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ)))
7660, 75mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ))
77 simpr2r 1230 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))
78 simpr1r 1228 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
796, 17, 18, 43, 7cvr1 38792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8047, 54, 78, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8177, 80mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
8276, 81eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
83823exp2 1351 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
84833imp 1108 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8584necon3bd 2948 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š))
8645, 85mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)
87863exp 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
8887rexlimdvv 3204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š))
8923, 88mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)
903, 5, 10, 30syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
91 lhp2lt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
9217, 91pltval 18295 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
933, 90, 13, 92syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
9421, 89, 93mpbir2and 710 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18270  ltcplt 18271  lubclub 18272  glbcglb 18273  joincjn 18274  1.cp1 18387  Latclat 18394  OPcops 38553   β‹– ccvr 38643  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LHypclh 39366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-lhyp 39370
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  39393
  Copyright terms: Public domain W3C validator