Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2lt 39474
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2lt.s < = (ltβ€˜πΎ)
lhp2lt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhp2lt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2lt.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š)

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š)
2 simp3r 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ≀ π‘Š)
3 simp1l 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 lhp2lt.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38761 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp3l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
116, 7atbase 38761 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp1r 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 lhp2lt.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
156, 14lhpbase 39471 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 lhp2lt.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
18 lhp2lt.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
196, 17, 18latjle12 18442 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ π‘Š ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š))
204, 9, 12, 16, 19syl13anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ≀ π‘Š ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š))
211, 2, 20mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š)
2218, 17, 73dim2 38941 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
233, 5, 10, 22syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
24 simp11l 1282 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
25 hlop 38834 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
2724hllatd 38836 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
28 simp12l 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
29 simp13l 1286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
306, 18, 7hlatjcl 38839 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3124, 28, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp2l 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
336, 7atbase 38761 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
356, 18latjcl 18431 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3627, 31, 34, 35syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
37 simp2r 1198 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
386, 7atbase 38761 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
406, 18latjcl 18431 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4127, 36, 39, 40syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
42 eqid 2728 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
43 eqid 2728 . . . . . . . 8 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
446, 42, 43ncvr1 38744 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
4526, 41, 44syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
46 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
47 simpl1l 1222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4847hllatd 38836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
49 simpl2l 1224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
50 simpl3l 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5147, 49, 50, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simpr1l 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5448, 51, 53, 35syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5547, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
56 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
576, 46, 56op01dm 38655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP β†’ ((Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
5857simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP β†’ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
606, 46, 17, 42, 47, 54, 59ple1 18422 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ))
61 hlpos 38838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6247, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
636, 42op1cl 38657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6455, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
65 simpr2l 1230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
666, 17, 18, 43, 7cvr1 38883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6747, 51, 52, 66syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6865, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))
69 simpr3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)
70 simpl1r 1223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7142, 43, 14lhp1cvr 39472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
7247, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
7369, 72eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
746, 17, 43cvrcmp 38755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ)))
7562, 54, 64, 51, 68, 73, 74syl132anc 1386 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ)))
7660, 75mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ))
77 simpr2r 1231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))
78 simpr1r 1229 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
796, 17, 18, 43, 7cvr1 38883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8047, 54, 78, 79syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8177, 80mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
8276, 81eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
83823exp2 1352 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
84833imp 1109 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8584necon3bd 2951 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š))
8645, 85mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)
87863exp 1117 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
8887rexlimdvv 3207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š))
8923, 88mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)
903, 5, 10, 30syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
91 lhp2lt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
9217, 91pltval 18324 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
933, 90, 13, 92syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
9421, 89, 93mpbir2and 712 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  Posetcpo 18299  ltcplt 18300  lubclub 18301  glbcglb 18302  joincjn 18303  1.cp1 18416  Latclat 18423  OPcops 38644   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LHypclh 39457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-lhyp 39461
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  39484
  Copyright terms: Public domain W3C validator