Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2lt 38359
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2lt.s < = (ltβ€˜πΎ)
lhp2lt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhp2lt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2lt.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š)

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š)
2 simp3r 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ≀ π‘Š)
3 simp1l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37721 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 lhp2lt.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 37646 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp3l 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
116, 7atbase 37646 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp1r 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 lhp2lt.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
156, 14lhpbase 38356 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1613, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 lhp2lt.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
18 lhp2lt.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
196, 17, 18latjle12 18273 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ π‘Š ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š))
204, 9, 12, 16, 19syl13anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ≀ π‘Š ∧ 𝑄 ≀ π‘Š) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š))
211, 2, 20mpbi2and 710 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š)
2218, 17, 73dim2 37826 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
233, 5, 10, 22syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
24 simp11l 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
25 hlop 37719 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
2724hllatd 37721 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
28 simp12l 1286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
29 simp13l 1288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
306, 18, 7hlatjcl 37724 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3124, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp2l 1199 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
336, 7atbase 37646 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
356, 18latjcl 18262 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3627, 31, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
37 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
386, 7atbase 37646 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
406, 18latjcl 18262 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4127, 36, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
42 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
43 eqid 2737 . . . . . . . 8 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
446, 42, 43ncvr1 37629 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
4526, 41, 44syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
46 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
47 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4847hllatd 37721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
49 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
50 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5147, 49, 50, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simpr1l 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5448, 51, 53, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5547, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
56 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
576, 46, 56op01dm 37540 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP β†’ ((Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
5857simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP β†’ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜πΎ) ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
606, 46, 17, 42, 47, 54, 59ple1 18253 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ))
61 hlpos 37723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6247, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
636, 42op1cl 37542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6455, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
65 simpr2l 1232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
666, 17, 18, 43, 7cvr1 37768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6747, 51, 52, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6865, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))
69 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)
70 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7142, 43, 14lhp1cvr 38357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
7247, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
7369, 72eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))
746, 17, 43cvrcmp 37640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ)))
7562, 54, 64, 51, 68, 73, 74syl132anc 1388 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ≀ (1.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ)))
7660, 75mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = (1.β€˜πΎ))
77 simpr2r 1233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))
78 simpr1r 1231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
796, 17, 18, 43, 7cvr1 37768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8047, 54, 78, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8177, 80mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
8276, 81eqbrtrrd 5127 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š)) β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
83823exp2 1354 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
84833imp 1111 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = π‘Š β†’ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
8584necon3bd 2955 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (Β¬ (1.β€˜πΎ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š))
8645, 85mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)
87863exp 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
8887rexlimdvv 3202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š))
8923, 88mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)
903, 5, 10, 30syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
91 lhp2lt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
9217, 91pltval 18155 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
933, 90, 13, 92syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  π‘Š)))
9421, 89, 93mpbir2and 711 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) < π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  dom cdm 5630  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  lecple 17074  Posetcpo 18130  ltcplt 18131  lubclub 18132  glbcglb 18133  joincjn 18134  1.cp1 18247  Latclat 18254  OPcops 37529   β‹– ccvr 37619  Atomscatm 37620  HLchlt 37707  LHypclh 38342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18118  df-poset 18136  df-plt 18153  df-lub 18169  df-glb 18170  df-join 18171  df-meet 18172  df-p0 18248  df-p1 18249  df-lat 18255  df-clat 18322  df-oposet 37533  df-ol 37535  df-oml 37536  df-covers 37623  df-ats 37624  df-atl 37655  df-cvlat 37679  df-hlat 37708  df-lhyp 38346
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  38369
  Copyright terms: Public domain W3C validator