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Theorem lhp2lt 38464
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l = (le‘𝐾)
lhp2lt.s < = (lt‘𝐾)
lhp2lt.j = (join‘𝐾)
lhp2lt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2lt.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) < 𝑊)

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃 𝑊)
2 simp3r 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄 𝑊)
3 simp1l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37826 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃𝐴)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 lhp2lt.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 37751 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10 simp3l 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄𝐴)
116, 7atbase 37751 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp1r 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑊𝐻)
14 lhp2lt.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
156, 14lhpbase 38461 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
17 lhp2lt.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
18 lhp2lt.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
196, 17, 18latjle12 18339 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
204, 9, 12, 16, 19syl13anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
211, 2, 20mpbi2and 710 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) 𝑊)
2218, 17, 73dim2 37931 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
233, 5, 10, 22syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
24 simp11l 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
25 hlop 37824 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
2724hllatd 37826 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
28 simp12l 1286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑃𝐴)
29 simp13l 1288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑄𝐴)
306, 18, 7hlatjcl 37829 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3124, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
32 simp2l 1199 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑟𝐴)
336, 7atbase 37751 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
356, 18latjcl 18328 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
3627, 31, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
37 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑠𝐴)
386, 7atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
406, 18latjcl 18328 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
4127, 36, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
42 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
43 eqid 2736 . . . . . . . 8 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
446, 42, 43ncvr1 37734 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾)) → ¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
4526, 41, 44syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
46 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
47 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4847hllatd 37826 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
49 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑃𝐴)
50 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑄𝐴)
5147, 49, 50, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
52 simpr1l 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑟𝐴)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
5448, 51, 53, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
5547, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ OP)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
576, 46, 56op01dm 37645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP → ((Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ dom (glb‘𝐾)))
5857simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP → (Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾))
606, 46, 17, 42, 47, 54, 59ple1 18319 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾))
61 hlpos 37828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6247, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ Poset)
636, 42op1cl 37647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
6455, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
65 simpr2l 1232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ¬ 𝑟 (𝑃 𝑄))
666, 17, 18, 43, 7cvr1 37873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6747, 51, 52, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6865, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟))
69 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄) = 𝑊)
70 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑊𝐻)
7142, 43, 14lhp1cvr 38462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
7247, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
7369, 72eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
746, 17, 43cvrcmp 37745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟) ∧ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾)))
7562, 54, 64, 51, 68, 73, 74syl132anc 1388 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾)))
7660, 75mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾))
77 simpr2r 1233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))
78 simpr1r 1231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑠𝐴)
796, 17, 18, 43, 7cvr1 37873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8047, 54, 78, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8177, 80mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
8276, 81eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
83823exp2 1354 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑟𝐴𝑠𝐴) → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → ((𝑃 𝑄) = 𝑊 → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))))
84833imp 1111 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ((𝑃 𝑄) = 𝑊 → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8584necon3bd 2957 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊))
8645, 85mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)
87863exp 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑟𝐴𝑠𝐴) → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
8887rexlimdvv 3204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊))
8923, 88mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)
903, 5, 10, 30syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
91 lhp2lt.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
9217, 91pltval 18221 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑃 𝑄) < 𝑊 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑊 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
933, 90, 13, 92syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) < 𝑊 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑊 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
9421, 89, 93mpbir2and 711 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) < 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  Posetcpo 18196  ltcplt 18197  lubclub 18198  glbcglb 18199  joincjn 18200  1.cp1 18313  Latclat 18320  OPcops 37634  ccvr 37724  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  38474
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