Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37711 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | ad2antrr 725 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simprl 770 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
4 | | lhpmcvr.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | lhpmcvr.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | 4, 5 | lhpbase 38347 |
. . . 4
β’ (π β π» β π β π΅) |
7 | 6 | ad2antlr 726 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | lhpmcvr.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | 4, 8 | latmcom 18287 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) = (π β§ π)) |
10 | 2, 3, 7, 9 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) = (π β§ π)) |
11 | | eqid 2738 |
. . . . . 6
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
12 | | lhpmcvr.c |
. . . . . 6
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
13 | 11, 12, 5 | lhp1cvr 38348 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β ππΆ(1.βπΎ)) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ππΆ(1.βπΎ)) |
15 | | lhpmcvr.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | eqid 2738 |
. . . . 5
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
17 | 4, 15, 16, 11, 5 | lhpj1 38371 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π(joinβπΎ)π) = (1.βπΎ)) |
18 | 14, 17 | breqtrrd 5132 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ππΆ(π(joinβπΎ)π)) |
19 | | simpll 766 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
20 | 4, 16, 8, 12 | cvrexch 37769 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π)πΆπ β ππΆ(π(joinβπΎ)π))) |
21 | 19, 7, 3, 20 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β§ π)πΆπ β ππΆ(π(joinβπΎ)π))) |
22 | 18, 21 | mpbird 257 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π)πΆπ) |
23 | 10, 22 | eqbrtrd 5126 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π)πΆπ) |