Theorem lhpmcvr 41173

Description: The meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmcvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmcvr.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhpmcvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmcvr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)𝐶𝑋)

Proof of Theorem lhpmcvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40513	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lhpmcvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lhpmcvr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 41148	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	6	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
8		lhpmcvr.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	4, 8	latmcom 18642	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) = (𝑊 ∧ 𝑋))
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊) = (𝑊 ∧ 𝑋))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
12		lhpmcvr.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	11, 12, 5	lhp1cvr 41149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶(1.‘𝐾))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊𝐶(1.‘𝐾))
15		lhpmcvr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	4, 15, 16, 11, 5	lhpj1 41172	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑊(join‘𝐾)𝑋) = (1.‘𝐾))
18	14, 17	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋))
19		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20	4, 16, 8, 12	cvrexch 40570	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋 ↔ 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋)))
21	19, 7, 3, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋 ↔ 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋)))
22	18, 21	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋)
23	10, 22	eqbrtrd 5126	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)𝐶𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  joincjn 18490  meetcmee 18491  1.cp1 18601  Latclat 18610   ⋖ ccvr 40412  HLchlt 40500  LHypclh 41134

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-lhyp 41138

This theorem is used by:  lhpmcvr2  41174  lhpm0atN  41179