Theorem lhpmcvr 40611

Description: The meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmcvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmcvr.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhpmcvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmcvr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)𝐶𝑋)

Proof of Theorem lhpmcvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39951	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simprl 780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lhpmcvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lhpmcvr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 40586	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	6	ad2antlr 737	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
8		lhpmcvr.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	4, 8	latmcom 18478	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) = (𝑊 ∧ 𝑋))
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊) = (𝑊 ∧ 𝑋))
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
12		lhpmcvr.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	11, 12, 5	lhp1cvr 40587	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶(1.‘𝐾))
14	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊𝐶(1.‘𝐾))
15		lhpmcvr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	4, 15, 16, 11, 5	lhpj1 40610	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑊(join‘𝐾)𝑋) = (1.‘𝐾))
18	14, 17	breqtrrd 5127	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋))
19		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20	4, 16, 8, 12	cvrexch 40008	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋 ↔ 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋)))
21	19, 7, 3, 20	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋 ↔ 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋)))
22	18, 21	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋)
23	10, 22	eqbrtrd 5121	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  lecple 17276  joincjn 18326  meetcmee 18327  1.cp1 18437  Latclat 18446   ⋖ ccvr 39850  HLchlt 39938  LHypclh 40572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-lhyp 40576

This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  40612  lhpm0atN  40617