Theorem lhpmcvr 40025

Description: The meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmcvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmcvr.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhpmcvr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmcvr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)𝐶𝑋)

Proof of Theorem lhpmcvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39364	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lhpmcvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lhpmcvr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 40000	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	6	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
8		lhpmcvr.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	4, 8	latmcom 18508	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) = (𝑊 ∧ 𝑋))
10	2, 3, 7, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊) = (𝑊 ∧ 𝑋))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
12		lhpmcvr.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	11, 12, 5	lhp1cvr 40001	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊𝐶(1.‘𝐾))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊𝐶(1.‘𝐾))
15		lhpmcvr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17	4, 15, 16, 11, 5	lhpj1 40024	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑊(join‘𝐾)𝑋) = (1.‘𝐾))
18	14, 17	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋))
19		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20	4, 16, 8, 12	cvrexch 39422	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋 ↔ 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋)))
21	19, 7, 3, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋 ↔ 𝑊𝐶(𝑊(join‘𝐾)𝑋)))
22	18, 21	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∧ 𝑋)𝐶𝑋)
23	10, 22	eqbrtrd 5165	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  1.cp1 18469  Latclat 18476   ⋖ ccvr 39263  HLchlt 39351  LHypclh 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990

This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  40026  lhpm0atN  40031