Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr 38372
Description: The meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpmcvr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpmcvr.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpmcvr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lhpmcvr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š)𝐢𝑋)

Proof of Theorem lhpmcvr
StepHypRef Expression
1 hllat 37711 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 lhpmcvr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 lhpmcvr.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
64, 5lhpbase 38347 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
76ad2antlr 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
8 lhpmcvr.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
94, 8latmcom 18287 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) = (π‘Š ∧ 𝑋))
102, 3, 7, 9syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) = (π‘Š ∧ 𝑋))
11 eqid 2738 . . . . . 6 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
12 lhpmcvr.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1311, 12, 5lhp1cvr 38348 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ŠπΆ(1.β€˜πΎ))
1413adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ŠπΆ(1.β€˜πΎ))
15 lhpmcvr.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 eqid 2738 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
174, 15, 16, 11, 5lhpj1 38371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋) = (1.β€˜πΎ))
1814, 17breqtrrd 5132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ŠπΆ(π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋))
19 simpll 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
204, 16, 8, 12cvrexch 37769 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Š ∧ 𝑋)𝐢𝑋 ↔ π‘ŠπΆ(π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋)))
2119, 7, 3, 20syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Š ∧ 𝑋)𝐢𝑋 ↔ π‘ŠπΆ(π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋)))
2218, 21mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∧ 𝑋)𝐢𝑋)
2310, 22eqbrtrd 5126 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š)𝐢𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  lecple 17075  joincjn 18135  meetcmee 18136  1.cp1 18248  Latclat 18255   β‹– ccvr 37610  HLchlt 37698  LHypclh 38333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-proset 18119  df-poset 18137  df-plt 18154  df-lub 18170  df-glb 18171  df-join 18172  df-meet 18173  df-p0 18249  df-p1 18250  df-lat 18256  df-clat 18323  df-oposet 37524  df-ol 37526  df-oml 37527  df-covers 37614  df-ats 37615  df-atl 37646  df-cvlat 37670  df-hlat 37699  df-lhyp 38337
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  38373  lhpm0atN  38378
  Copyright terms: Public domain W3C validator