Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr 38381
Description: The meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpmcvr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpmcvr.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpmcvr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lhpmcvr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š)𝐢𝑋)

Proof of Theorem lhpmcvr
StepHypRef Expression
1 hllat 37720 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 724 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simprl 769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 lhpmcvr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 lhpmcvr.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
64, 5lhpbase 38356 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
76ad2antlr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
8 lhpmcvr.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
94, 8latmcom 18286 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) = (π‘Š ∧ 𝑋))
102, 3, 7, 9syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) = (π‘Š ∧ 𝑋))
11 eqid 2737 . . . . . 6 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
12 lhpmcvr.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1311, 12, 5lhp1cvr 38357 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ŠπΆ(1.β€˜πΎ))
1413adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ŠπΆ(1.β€˜πΎ))
15 lhpmcvr.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 eqid 2737 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
174, 15, 16, 11, 5lhpj1 38380 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋) = (1.β€˜πΎ))
1814, 17breqtrrd 5131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ŠπΆ(π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋))
19 simpll 765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
204, 16, 8, 12cvrexch 37778 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Š ∧ 𝑋)𝐢𝑋 ↔ π‘ŠπΆ(π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋)))
2119, 7, 3, 20syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘Š ∧ 𝑋)𝐢𝑋 ↔ π‘ŠπΆ(π‘Š(joinβ€˜πΎ)𝑋)))
2218, 21mpbird 256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∧ 𝑋)𝐢𝑋)
2310, 22eqbrtrd 5125 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š)𝐢𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  lecple 17074  joincjn 18134  meetcmee 18135  1.cp1 18247  Latclat 18254   β‹– ccvr 37619  HLchlt 37707  LHypclh 38342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18118  df-poset 18136  df-plt 18153  df-lub 18169  df-glb 18170  df-join 18171  df-meet 18172  df-p0 18248  df-p1 18249  df-lat 18255  df-clat 18322  df-oposet 37533  df-ol 37535  df-oml 37536  df-covers 37623  df-ats 37624  df-atl 37655  df-cvlat 37679  df-hlat 37708  df-lhyp 38346
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  38382  lhpm0atN  38387
  Copyright terms: Public domain W3C validator