Theorem linds2 21961

Description: An independent set of vectors is independent as a family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
linds2	⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem linds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6915	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	islinds 21959	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
6	5	simprd 500	1 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   I cid 5555  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  Basecbs 17264   LIndF clindf 21954  LIndSclinds 21955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-res 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-linds 21957

This theorem is referenced by:  lindsind2  21969  lindsss  21974  f1linds  21975