Theorem linds2 22126

Description: An independent set of vectors is independent as a family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
linds2	⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem linds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6924	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	islinds 22124	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
6	5	simprd 501	1 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   I cid 5545  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  Basecbs 17396   LIndF clindf 22119  LIndSclinds 22120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-linds 22122

This theorem is used by:  lindsind2  22134  lindsss  22139  f1linds  22140