MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  linds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linds1 21214
Description: An independent set of vectors is a set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
linds1 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem linds1
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6879 . . . 4 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2 islinds.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
32islinds 21213 . . . 4 (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
41, 3syl 17 . . 3 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
54ibi 266 . 2 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
65simpld 495 1 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105   I cid 5530  dom cdm 5633  cres 5635  cfv 6496  Basecbs 17082   LIndF clindf 21208  LIndSclinds 21209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-res 5645  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-linds 21211
This theorem is referenced by:  lindsss  21228  lindsmm2  21233  islinds3  21238  islinds4  21239  0nellinds  32103  linds2eq  32112  lindsunlem  32259  lindsun  32260  dimkerim  32262  lindsadd  36061  lindsdom  36062  lindsenlbs  36063
  Copyright terms: Public domain W3C validator