Theorem linds1 22121

Description: An independent set of vectors is a set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
linds1	⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem linds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6919	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2		islinds.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	islinds 22120	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   I cid 5544  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  Basecbs 17392   LIndF clindf 22115  LIndSclinds 22116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-linds 22118

This theorem is used by:  lindsss  22135  lindsmm2  22140  islinds3  22145  islinds4  22146  lindsdom  22161  lindsenlbs  22162  0nellinds  33972  linds2eq  33982  lindsunlem  34302  lindsun  34303  dimkerim  34305  lindsadd  38629