Theorem linds1 21792

Description: An independent set of vectors is a set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
linds1	⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem linds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6868	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2		islinds.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	islinds 21791	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
5	4	ibi 268	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
6	5	simpld 495	1 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   I cid 5519  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  Basecbs 17177   LIndF clindf 21786  LIndSclinds 21787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-linds 21789

This theorem is referenced by:  lindsss  21806  lindsmm2  21811  islinds3  21816  islinds4  21817  0nellinds  33460  linds2eq  33471  lindsunlem  33815  lindsun  33816  dimkerim  33818  lindsadd  37987  lindsdom  37988  lindsenlbs  37989