MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  linds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linds1 21847
Description: An independent set of vectors is a set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
linds1 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem linds1
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . . . 4 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2 islinds.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
32islinds 21846 . . . 4 (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
41, 3syl 17 . . 3 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
54ibi 267 . 2 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
65simpld 494 1 (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962   class class class wbr 5147   I cid 5581  dom cdm 5688  cres 5690  cfv 6562  Basecbs 17244   LIndF clindf 21841  LIndSclinds 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-res 5700  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-linds 21844
This theorem is referenced by:  lindsss  21861  lindsmm2  21866  islinds3  21871  islinds4  21872  0nellinds  33377  linds2eq  33388  lindsunlem  33651  lindsun  33652  dimkerim  33654  lindsadd  37599  lindsdom  37600  lindsenlbs  37601
  Copyright terms: Public domain W3C validator