Theorem linds1 21765

Description: An independent set of vectors is a set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islinds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
linds1	⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem linds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6868	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LIndS)
2		islinds.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	islinds 21764	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LIndS → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → (𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑋) LIndF 𝑊))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   I cid 5518  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17136   LIndF clindf 21759  LIndSclinds 21760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-linds 21762

This theorem is referenced by:  lindsss  21779  lindsmm2  21784  islinds3  21789  islinds4  21790  0nellinds  33451  linds2eq  33462  lindsunlem  33781  lindsun  33782  dimkerim  33784  lindsadd  37810  lindsdom  37811  lindsenlbs  37812