MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsind2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindsind2 21757
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindsind2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2 linds2 21749 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
323ad2ant2 1131 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
4 dmresi 6050 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
54eleq2i 2817 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
65biimpri 227 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
763ad2ant3 1132 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
8 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
108, 9lindfind2 21756 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
111, 3, 7, 10syl3anc 1368 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
12 fvresi 7178 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) = 𝐸)
134difeq1i 4110 . . . . . . . 8 (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1413imaeq2i 6056 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸}))
15 difss 4124 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹
16 resiima 6074 . . . . . . . 8 ((𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1814, 17eqtri 2753 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1918fveq2i 6895 . . . . 5 (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))
2019a1i 11 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
2112, 20eleq12d 2819 . . 3 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
22213ad2ant3 1132 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2311, 22mtbid 323 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143   I cid 5569  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6543  Scalarcsca 17235  NzRingcnzr 20455  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859   LIndF clindf 21742  LIndSclinds 21743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-nzr 20456  df-lmod 20749  df-lindf 21744  df-linds 21745
This theorem is referenced by:  islinds4  21773  lindsadd  37143  lindsdom  37144  lindsenlbs  37145  aacllem  48346
  Copyright terms: Public domain W3C validator