MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsind2 21241
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindsind2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))

Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2 linds2 21233 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
323ad2ant2 1135 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
4 dmresi 6006 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
54eleq2i 2826 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
65biimpri 227 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
763ad2ant3 1136 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
8 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
108, 9lindfind2 21240 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
111, 3, 7, 10syl3anc 1372 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
12 fvresi 7120 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) = 𝐸)
134difeq1i 4079 . . . . . . . 8 (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1413imaeq2i 6012 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸}))
15 difss 4092 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹
16 resiima 6029 . . . . . . . 8 ((𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1814, 17eqtri 2761 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1918fveq2i 6846 . . . . 5 (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))
2019a1i 11 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
2112, 20eleq12d 2828 . . 3 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
22213ad2ant3 1136 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2311, 22mtbid 324 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   I cid 5531  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  Scalarcsca 17141  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447  NzRingcnzr 20743   LIndF clindf 21226  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-nzr 20744  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  islinds4  21257  lindsadd  36117  lindsdom  36118  lindsenlbs  36119  aacllem  47334
  Copyright terms: Public domain W3C validator