MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsind2 21857
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindsind2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2 linds2 21849 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
323ad2ant2 1133 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
4 dmresi 6072 . . . . . 6 dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
54eleq2i 2831 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹) ↔ 𝐸𝐹)
65biimpri 228 . . . 4 (𝐸𝐹𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
763ad2ant3 1134 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
8 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
108, 9lindfind2 21856 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
111, 3, 7, 10syl3anc 1370 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
12 fvresi 7193 . . . 4 (𝐸𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) = 𝐸)
134difeq1i 4132 . . . . . . . 8 (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}) = (𝐹 ∖ {𝐸})
1413imaeq2i 6078 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸}))
15 difss 4146 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹
16 resiima 6096 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
1814, 17eqtri 2763 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
1918fveq2i 6910 . . . . 5 (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))
2019a1i 11 . . . 4 (𝐸𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
2112, 20eleq12d 2833 . . 3 (𝐸𝐹 → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
22213ad2ant3 1134 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
2311, 22mtbid 324 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   I cid 5582  dom cdm 5689  cres 5691  cima 5692  cfv 6563  Scalarcsca 17301  NzRingcnzr 20529  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987   LIndF clindf 21842  LIndSclinds 21843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-lmod 20877  df-lindf 21844  df-linds 21845
This theorem is referenced by:  islinds4  21873  lindsadd  37600  lindsdom  37601  lindsenlbs  37602  aacllem  49032
  Copyright terms: Public domain W3C validator