Theorem lindsind2 21765

Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lindsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2		linds2 21757	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
4		dmresi 6008	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
5	4	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
6	5	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
7	6	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
8		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
10	8, 9	lindfind2 21764	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
11	1, 3, 7, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
12		fvresi 7116	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) = 𝐸)
13	4	difeq1i 4071	. . . . . . . 8 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}) = (𝐹 ∖ {𝐸})
14	13	imaeq2i 6014	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸}))
15		difss 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹
16		resiima 6032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
18	14, 17	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
19	18	fveq2i 6834	. . . . 5 ⊢ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
21	12, 20	eleq12d 2827	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
22	21	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
23	11, 22	mtbid 324	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577   class class class wbr 5095   I cid 5515  dom cdm 5621   ↾ cres 5623   “ cima 5624  ‘cfv 6489  Scalarcsca 17171  NzRingcnzr 20436  LModclmod 20802  LSpanclspn 20913   LIndF clindf 21750  LIndSclinds 21751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-nzr 20437  df-lmod 20804  df-lindf 21752  df-linds 21753

This theorem is referenced by:  islinds4  21781  lindsadd  37726  lindsdom  37727  lindsenlbs  37728  aacllem  49962