Theorem lindsind2 21751

Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lindsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2		linds2 21743	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
4		dmresi 5996	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
5	4	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
6	5	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
7	6	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
8		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
10	8, 9	lindfind2 21750	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
11	1, 3, 7, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
12		fvresi 7102	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) = 𝐸)
13	4	difeq1i 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}) = (𝐹 ∖ {𝐸})
14	13	imaeq2i 6002	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸}))
15		difss 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹
16		resiima 6020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
18	14, 17	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
19	18	fveq2i 6820	. . . . 5 ⊢ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
21	12, 20	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
22	21	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
23	11, 22	mtbid 324	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4571   class class class wbr 5086   I cid 5505  dom cdm 5611   ↾ cres 5613   “ cima 5614  ‘cfv 6476  Scalarcsca 17159  NzRingcnzr 20422  LModclmod 20788  LSpanclspn 20899   LIndF clindf 21736  LIndSclinds 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-nzr 20423  df-lmod 20790  df-lindf 21738  df-linds 21739

This theorem is referenced by:  islinds4  21767  lindsadd  37653  lindsdom  37654  lindsenlbs  37655  aacllem  49833