MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsind2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindsind2 21714
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindsind2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2 linds2 21706 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
323ad2ant2 1131 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
4 dmresi 6045 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
54eleq2i 2819 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
65biimpri 227 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
763ad2ant3 1132 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
8 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
108, 9lindfind2 21713 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
111, 3, 7, 10syl3anc 1368 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
12 fvresi 7167 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) = 𝐸)
134difeq1i 4113 . . . . . . . 8 (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1413imaeq2i 6051 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸}))
15 difss 4126 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹
16 resiima 6069 . . . . . . . 8 ((𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1814, 17eqtri 2754 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1918fveq2i 6888 . . . . 5 (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))
2019a1i 11 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
2112, 20eleq12d 2821 . . 3 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
22213ad2ant3 1132 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2311, 22mtbid 324 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   I cid 5566  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  Scalarcsca 17209  NzRingcnzr 20414  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818   LIndF clindf 21699  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-nzr 20415  df-lmod 20708  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  islinds4  21730  lindsadd  36994  lindsdom  36995  lindsenlbs  36996  aacllem  48122
  Copyright terms: Public domain W3C validator