Theorem lindsind2 21774

Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfind2.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lindfind2.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lindsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2		linds2 21766	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
4		dmresi 6011	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
5	4	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
6	5	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
7	6	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹))
8		lindfind2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9		lindfind2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
10	8, 9	lindfind2 21773	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
11	1, 3, 7, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))))
12		fvresi 7119	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝐸) = 𝐸)
13	4	difeq1i 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}) = (𝐹 ∖ {𝐸})
14	13	imaeq2i 6017	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸}))
15		difss 4088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹
16		resiima 6035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
18	14, 17	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸})) = (𝐹 ∖ {𝐸})
19	18	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))
21	12, 20	eleq12d 2830	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
22	21	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹)‘𝐸) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸}))))
23	11, 22	mtbid 324	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098   I cid 5518  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627  ‘cfv 6492  Scalarcsca 17180  NzRingcnzr 20445  LModclmod 20811  LSpanclspn 20922   LIndF clindf 21759  LIndSclinds 21760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-nzr 20446  df-lmod 20813  df-lindf 21761  df-linds 21762

This theorem is referenced by:  islinds4  21790  lindsadd  37814  lindsdom  37815  lindsenlbs  37816  aacllem  50046