MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsind2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindsind2 21373
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindfind2.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindsind2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing))
2 linds2 21365 . . . 4 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
323ad2ant2 1134 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
4 dmresi 6051 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
54eleq2i 2825 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹) ↔ 𝐸 ∈ 𝐹)
65biimpri 227 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
763ad2ant3 1135 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹))
8 lindfind2.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 lindfind2.l . . . 4 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
108, 9lindfind2 21372 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š ∧ 𝐸 ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
111, 3, 7, 10syl3anc 1371 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))))
12 fvresi 7170 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) = 𝐸)
134difeq1i 4118 . . . . . . . 8 (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1413imaeq2i 6057 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸}))
15 difss 4131 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹
16 resiima 6075 . . . . . . . 8 ((𝐹 βˆ– {𝐸}) βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1814, 17eqtri 2760 . . . . . 6 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸})) = (𝐹 βˆ– {𝐸})
1918fveq2i 6894 . . . . 5 (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))
2019a1i 11 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
2112, 20eleq12d 2827 . . 3 (𝐸 ∈ 𝐹 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
22213ad2ant3 1135 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ ((( I β†Ύ 𝐹)β€˜πΈ) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {𝐸}))) ↔ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸}))))
2311, 22mtbid 323 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐸 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {𝐸})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   I cid 5573  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  Scalarcsca 17199  NzRingcnzr 20290  LModclmod 20470  LSpanclspn 20581   LIndF clindf 21358  LIndSclinds 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-nzr 20291  df-lmod 20472  df-lindf 21360  df-linds 21361
This theorem is referenced by:  islinds4  21389  lindsadd  36476  lindsdom  36477  lindsenlbs  36478  aacllem  47838
  Copyright terms: Public domain W3C validator