MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem f1linds 21766
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6798 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:π·βŸΆπ‘†)
2 fcoi2 6777 . . . 4 (𝐹:π·βŸΆπ‘† β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1132 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 linds2 21752 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
8 dmresi 6060 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6795 . . . . . 6 (dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆 β†’ (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
1110biimpri 227 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
13 f1lindf 21763 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š ∧ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
145, 7, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
154, 14eqbrtrrd 5176 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   I cid 5579  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553  LModclmod 20750   LIndF clindf 21745  LIndSclinds 21746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lindf 21747  df-linds 21748
This theorem is referenced by:  islindf3  21767  lindsmm  21769  lbslcic  21782
  Copyright terms: Public domain W3C validator