MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1linds 21247
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6739 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:π·βŸΆπ‘†)
2 fcoi2 6718 . . . 4 (𝐹:π·βŸΆπ‘† β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1136 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 linds2 21233 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
763ad2ant2 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
8 dmresi 6006 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6736 . . . . . 6 (dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆 β†’ (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
1110biimpri 227 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
12113ad2ant3 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
13 f1lindf 21244 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š ∧ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
145, 7, 12, 13syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
154, 14eqbrtrrd 5130 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   I cid 5531  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  LModclmod 20336   LIndF clindf 21226  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  islindf3  21248  lindsmm  21250  lbslcic  21263
  Copyright terms: Public domain W3C validator