Theorem f1linds 22186

Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1linds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6808	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷⟶1-1𝑆 → 𝐹:𝐷⟶𝑆)
2		fcoi2 6787	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷⟶1-1𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
4	3	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6		linds2 22172	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8		dmresi 6062	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9		f1eq3 6805	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷⟶1-1dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷⟶1-1dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆)
11	10	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷⟶1-1𝑆 → 𝐹:𝐷⟶1-1dom ( I ↾ 𝑆))
12	11	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → 𝐹:𝐷⟶1-1dom ( I ↾ 𝑆))
13		f1lindf 22183	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊 ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
14	5, 7, 12, 13	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
15	4, 14	eqbrtrrd 5135	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷⟶1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   I cid 5552  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563  ‘cfv 6566  LModclmod 21186   LIndF clindf 22165  LIndSclinds 22166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-addcl 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lindf 22167  df-linds 22168

This theorem is used by:  islindf3  22187  lindsmm  22189  lbslcic  22202