MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1linds 21863
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6805 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷𝑆)
2 fcoi2 6784 . . . 4 (𝐹:𝐷𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1134 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6 linds2 21849 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
763ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8 dmresi 6072 . . . . . 6 dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6802 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆)
1110biimpri 228 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12113ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13 f1lindf 21860 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
145, 7, 12, 13syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
154, 14eqbrtrrd 5172 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5582  dom cdm 5689  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  LModclmod 20875   LIndF clindf 21842  LIndSclinds 21843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lindf 21844  df-linds 21845
This theorem is referenced by:  islindf3  21864  lindsmm  21866  lbslcic  21879
  Copyright terms: Public domain W3C validator