Theorem f1linds 21792

Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1linds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6738	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → 𝐹:𝐷⟶𝑆)
2		fcoi2 6717	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
4	3	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6		linds2 21778	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
7	6	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8		dmresi 6019	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9		f1eq3 6735	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
11	10	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12	11	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13		f1lindf 21789	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊 ∧ 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
14	5, 7, 12, 13	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
15	4, 14	eqbrtrrd 5124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   I cid 5526  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  ‘cfv 6500  LModclmod 20823   LIndF clindf 21771  LIndSclinds 21772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lindf 21773  df-linds 21774

This theorem is referenced by:  islindf3  21793  lindsmm  21795  lbslcic  21808