MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1linds 20661
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6398 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷𝑆)
2 fcoi2 6376 . . . 4 (𝐹:𝐷𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1115 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1116 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6 linds2 20647 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
763ad2ant2 1114 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8 dmresi 5757 . . . . . 6 dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6395 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆)
1110biimpri 220 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12113ad2ant3 1115 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13 f1lindf 20658 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
145, 7, 12, 13syl3anc 1351 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
154, 14eqbrtrrd 4947 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048   class class class wbr 4923   I cid 5304  dom cdm 5400  cres 5402  ccom 5404  wf 6178  1-1wf1 6179  cfv 6182  LModclmod 19346   LIndF clindf 20640  LIndSclinds 20641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-slot 16333  df-base 16335  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-lindf 20642  df-linds 20643
This theorem is referenced by:  islindf3  20662  lindsmm  20664  lbslcic  20677
  Copyright terms: Public domain W3C validator