MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem f1linds 21715
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6780 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:π·βŸΆπ‘†)
2 fcoi2 6759 . . . 4 (𝐹:π·βŸΆπ‘† β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1132 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 linds2 21701 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
8 dmresi 6044 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6777 . . . . . 6 (dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆 β†’ (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
1110biimpri 227 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
13 f1lindf 21712 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š ∧ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
145, 7, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
154, 14eqbrtrrd 5165 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   I cid 5566  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536  LModclmod 20703   LIndF clindf 21694  LIndSclinds 21695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-nn 12214  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lindf 21696  df-linds 21697
This theorem is referenced by:  islindf3  21716  lindsmm  21718  lbslcic  21731
  Copyright terms: Public domain W3C validator