Theorem f1linds 21710

Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1linds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6738	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → 𝐹:𝐷⟶𝑆)
2		fcoi2 6717	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6		linds2 21696	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
7	6	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8		dmresi 6012	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9		f1eq3 6735	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
11	10	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12	11	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13		f1lindf 21707	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊 ∧ 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
14	5, 7, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
15	4, 14	eqbrtrrd 5126	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102   I cid 5525  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  ‘cfv 6499  LModclmod 20742   LIndF clindf 21689  LIndSclinds 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lindf 21691  df-linds 21692

This theorem is referenced by:  islindf3  21711  lindsmm  21713  lbslcic  21726