MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1linds 21776
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6793 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷𝑆)
2 fcoi2 6772 . . . 4 (𝐹:𝐷𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1132 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6 linds2 21762 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8 dmresi 6056 . . . . . 6 dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6790 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆)
1110biimpri 227 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13 f1lindf 21773 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
145, 7, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
154, 14eqbrtrrd 5173 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149   I cid 5575  dom cdm 5678  cres 5680  ccom 5682  wf 6545  1-1wf1 6546  cfv 6549  LModclmod 20755   LIndF clindf 21755  LIndSclinds 21756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-1cn 11198  ax-addcl 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12246  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lindf 21757  df-linds 21758
This theorem is referenced by:  islindf3  21777  lindsmm  21779  lbslcic  21792
  Copyright terms: Public domain W3C validator