MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem f1linds 21379
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6787 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:π·βŸΆπ‘†)
2 fcoi2 6766 . . . 4 (𝐹:π·βŸΆπ‘† β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1135 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 linds2 21365 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
763ad2ant2 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š)
8 dmresi 6051 . . . . . 6 dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6784 . . . . . 6 (dom ( I β†Ύ 𝑆) = 𝑆 β†’ (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
1110biimpri 227 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
12113ad2ant3 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆))
13 f1lindf 21376 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( I β†Ύ 𝑆) LIndF π‘Š ∧ 𝐹:𝐷–1-1β†’dom ( I β†Ύ 𝑆)) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
145, 7, 12, 13syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ (( I β†Ύ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF π‘Š)
154, 14eqbrtrrd 5172 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5573  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  LModclmod 20470   LIndF clindf 21358  LIndSclinds 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lindf 21360  df-linds 21361
This theorem is referenced by:  islindf3  21380  lindsmm  21382  lbslcic  21395
  Copyright terms: Public domain W3C validator