Theorem f1linds 22025

Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1linds	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6778	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → 𝐹:𝐷⟶𝑆)
2		fcoi2 6757	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
4	3	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6		linds2 22011	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8		dmresi 6056	. . . . . 6 ⊢ dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9		f1eq3 6775	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆)
11	10	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝑆 → 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12	11	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13		f1lindf 22022	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊 ∧ 𝐹:𝐷–1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
14	5, 7, 12, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
15	4, 14	eqbrtrrd 5137	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷–1-1→𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   I cid 5557  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  LModclmod 21031   LIndF clindf 22004  LIndSclinds 22005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-1cn 11173  ax-addcl 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lindf 22006  df-linds 22007

This theorem is used by:  islindf3  22026  lindsmm  22028  lbslcic  22041