MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1linds 20518
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 6553 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷𝑆)
2 fcoi2 6531 . . . 4 (𝐹:𝐷𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
433ad2ant3 1132 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) = 𝐹)
5 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
6 linds2 20504 . . . 4 (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊)
8 dmresi 5892 . . . . . 6 dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆
9 f1eq3 6550 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝑆) = 𝑆 → (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆) ↔ 𝐹:𝐷1-1𝑆)
1110biimpri 231 . . . 4 (𝐹:𝐷1-1𝑆𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆))
13 f1lindf 20515 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝑆) LIndF 𝑊𝐹:𝐷1-1→dom ( I ↾ 𝑆)) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
145, 7, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → (( I ↾ 𝑆) ∘ 𝐹) LIndF 𝑊)
154, 14eqbrtrrd 5057 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:𝐷1-1𝑆) → 𝐹 LIndF 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033   I cid 5427  dom cdm 5523  cres 5525  ccom 5527  wf 6324  1-1wf1 6325  cfv 6328  LModclmod 19631   LIndF clindf 20497  LIndSclinds 20498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-slot 16483  df-base 16485  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lindf 20499  df-linds 20500
This theorem is referenced by:  islindf3  20519  lindsmm  20521  lbslcic  20534
  Copyright terms: Public domain W3C validator