![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 218 of 484) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30767) |
![]() (30768-32290) |
![]() (32291-48346) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | frlmvscaval 21701 | Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐พ = (Baseโ๐ ) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐พ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ผ) & โข โ = ( ยท๐ โ๐) & โข ยท = (.rโ๐ ) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐)โ๐ฝ) = (๐ด ยท (๐โ๐ฝ))) | ||
Theorem | frlmplusgvalb 21702* | Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข + = (+gโ๐ ) & โข โ = (+gโ๐น) โ โข (๐ โ (๐ = (๐ โ ๐) โ โ๐ โ ๐ผ (๐โ๐) = ((๐โ๐) + (๐โ๐)))) | ||
Theorem | frlmvscavalb 21703* | Scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข ๐พ = (Baseโ๐ ) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐พ) & โข โ = ( ยท๐ โ๐น) & โข ยท = (.rโ๐ ) โ โข (๐ โ (๐ = (๐ด โ ๐) โ โ๐ โ ๐ผ (๐โ๐) = (๐ด ยท (๐โ๐)))) | ||
Theorem | frlmvplusgscavalb 21704* | Addition combined with scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข ๐พ = (Baseโ๐ ) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐พ) & โข โ = ( ยท๐ โ๐น) & โข ยท = (.rโ๐ ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) & โข + = (+gโ๐ ) & โข โ = (+gโ๐น) & โข (๐ โ ๐ถ โ ๐พ) โ โข (๐ โ (๐ = ((๐ด โ ๐) โ (๐ถ โ ๐)) โ โ๐ โ ๐ผ (๐โ๐) = ((๐ด ยท (๐โ๐)) + (๐ถ ยท (๐โ๐))))) | ||
Theorem | frlmgsum 21705* | Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข ((๐ โง ๐ฆ โ ๐ฝ) โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ๐) โ ๐ต) & โข (๐ โ (๐ฆ โ ๐ฝ โฆ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ๐)) finSupp 0 ) โ โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ฆ โ ๐ฝ โฆ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ๐))) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ (๐ ฮฃg (๐ฆ โ ๐ฝ โฆ ๐)))) | ||
Theorem | frlmsplit2 21706* | Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐) & โข ๐ = (๐ freeLMod ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) & โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅ โพ ๐)) โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐น โ (๐ LMHom ๐)) | ||
Theorem | frlmsslss 21707* | A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. ๐ฝ is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (LSubSpโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข ๐ถ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ (๐ฅ โพ ๐ฝ) = (๐ฝ ร { 0 })} โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐ผ) โ ๐ถ โ ๐) | ||
Theorem | frlmsslss2 21708* | A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. ๐ฝ is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (LSubSpโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข ๐ถ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ (๐ฅ supp 0 ) โ ๐ฝ} โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐ผ) โ ๐ถ โ ๐) | ||
Theorem | frlmbas3 21709 | An element of the base set of a finite free module with a Cartesian product as index set as operation value. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod (๐ ร ๐)) & โข ๐ต = (Baseโ๐ ) & โข ๐ = (Baseโ๐น) โ โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โ (๐ผ๐๐ฝ) โ ๐ต) | ||
Theorem | mpofrlmd 21710* | Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod (๐ ร ๐)) & โข ๐ = (Baseโ๐น) & โข ((๐ = ๐ โง ๐ = ๐) โ ๐ด = ๐ต) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ ๐) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ โข (๐ โ (๐ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ๐ต) โ โ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ (๐๐๐) = ๐ด)) | ||
Theorem | frlmip 21711* | The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐ ) & โข ยท = (.rโ๐ ) โ โข ((๐ผ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ (๐ต โm ๐ผ), ๐ โ (๐ต โm ๐ผ) โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ๐ฅ))))) = (ยท๐โ๐)) | ||
Theorem | frlmipval 21712 | The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐ ) & โข ยท = (.rโ๐ ) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข , = (ยท๐โ๐) โ โข (((๐ผ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐)) โ (๐น , ๐บ) = (๐ ฮฃg (๐น โf ยท ๐บ))) | ||
Theorem | frlmphllem 21713* | Lemma for frlmphl 21714. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐ ) & โข ยท = (.rโ๐ ) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข , = (ยท๐โ๐) & โข ๐ = (0gโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข โ = (*๐โ๐ ) & โข (๐ โ ๐ โ Field) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง (๐ , ๐) = 0 ) โ ๐ = ๐) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( โ โ๐ฅ) = ๐ฅ) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) โ โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง โ โ ๐) โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (โโ๐ฅ))) finSupp 0 ) | ||
Theorem | frlmphl 21714* | Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐ ) & โข ยท = (.rโ๐ ) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข , = (ยท๐โ๐) & โข ๐ = (0gโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข โ = (*๐โ๐ ) & โข (๐ โ ๐ โ Field) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ โง (๐ , ๐) = 0 ) โ ๐ = ๐) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( โ โ๐ฅ) = ๐ฅ) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) โ โข (๐ โ ๐ โ PreHil) | ||
According to Wikipedia ("Standard basis", 16-Mar-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_basis) "In mathematics, the standard basis (also called natural basis) for a Euclidean space is the set of unit vectors pointing in the direction of the axes of a Cartesian coordinate system.", and ("Unit vector", 16-Mar-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_vector) "In mathematics, a unit vector in a normed vector space is a vector (often a spatial vector) of length 1.". In the following, the term "unit vector" (or more specific "basic unit vector") is used for the (special) unit vectors forming the standard basis of free modules. However, the length of the unit vectors is not considered here, so it is not required to regard normed spaces. | ||
Syntax | cuvc 21715 | Class of basic unit vectors for an explicit free module. |
class unitVec | ||
Definition | df-uvc 21716* | ((๐ unitVec ๐ผ)โ๐) is the unit vector in (๐ freeLMod ๐ผ) along the ๐ axis. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) |
โข unitVec = (๐ โ V, ๐ โ V โฆ (๐ โ ๐ โฆ (๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐, (1rโ๐), (0gโ๐))))) | ||
Theorem | uvcfval 21717* | Value of the unit-vector generator for a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข 1 = (1rโ๐ ) & โข 0 = (0gโ๐ ) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ = (๐ โ ๐ผ โฆ (๐ โ ๐ผ โฆ if(๐ = ๐, 1 , 0 )))) | ||
Theorem | uvcval 21718* | Value of a single unit vector in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข 1 = (1rโ๐ ) & โข 0 = (0gโ๐ ) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐ผ) โ (๐โ๐ฝ) = (๐ โ ๐ผ โฆ if(๐ = ๐ฝ, 1 , 0 ))) | ||
Theorem | uvcvval 21719 | Value of a unit vector coordinate in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข 1 = (1rโ๐ ) & โข 0 = (0gโ๐ ) โ โข (((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐ผ) โง ๐พ โ ๐ผ) โ ((๐โ๐ฝ)โ๐พ) = if(๐พ = ๐ฝ, 1 , 0 )) | ||
Theorem | uvcvvcl 21720 | A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข 1 = (1rโ๐ ) & โข 0 = (0gโ๐ ) โ โข (((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐ผ) โง ๐พ โ ๐ผ) โ ((๐โ๐ฝ)โ๐พ) โ { 0 , 1 }) | ||
Theorem | uvcvvcl2 21721 | A unit vector coordinate is a ring element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐ ) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ผ) & โข (๐ โ ๐พ โ ๐ผ) โ โข (๐ โ ((๐โ๐ฝ)โ๐พ) โ ๐ต) | ||
Theorem | uvcvv1 21722 | The unit vector is one at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ผ) & โข 1 = (1rโ๐ ) โ โข (๐ โ ((๐โ๐ฝ)โ๐ฝ) = 1 ) | ||
Theorem | uvcvv0 21723 | The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ผ) & โข (๐ โ ๐พ โ ๐ผ) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐พ) & โข 0 = (0gโ๐ ) โ โข (๐ โ ((๐โ๐ฝ)โ๐พ) = 0 ) | ||
Theorem | uvcff 21724 | Domain and codomain of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐) โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐) โ ๐:๐ผโถ๐ต) | ||
Theorem | uvcf1 21725 | In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐) โ โข ((๐ โ NzRing โง ๐ผ โ ๐) โ ๐:๐ผโ1-1โ๐ต) | ||
Theorem | uvcresum 21726 | Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ = (๐ ฮฃg (๐ โf ยท ๐))) | ||
Theorem | frlmssuvc1 21727* | A scalar multiple of a unit vector included in a support-restriction subspace is included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐พ = (Baseโ๐ ) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐น) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข ๐ถ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ (๐ฅ supp 0 ) โ ๐ฝ} & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ผ) & โข (๐ โ ๐ฟ โ ๐ฝ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐พ) โ โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ๐ฟ)) โ ๐ถ) | ||
Theorem | frlmssuvc2 21728* | A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐พ = (Baseโ๐ ) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐น) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข ๐ถ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ (๐ฅ supp 0 ) โ ๐ฝ} & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ผ) & โข (๐ โ ๐ฟ โ (๐ผ โ ๐ฝ)) & โข (๐ โ ๐ โ (๐พ โ { 0 })) โ โข (๐ โ ยฌ (๐ ยท (๐โ๐ฟ)) โ ๐ถ) | ||
Theorem | frlmsslsp 21729* | A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) |
โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ ) & โข ๐ถ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ (๐ฅ supp 0 ) โ ๐ฝ} โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐ผ) โ (๐พโ(๐ โ ๐ฝ)) = ๐ถ) | ||
Theorem | frlmlbs 21730 | The unit vectors comprise a basis for a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ฝ = (LBasisโ๐น) โ โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐) โ ran ๐ โ ๐ฝ) | ||
Theorem | frlmup1 21731* | Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ธ = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โf ยท ๐ด))) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ = (Scalarโ๐)) & โข (๐ โ ๐ด:๐ผโถ๐ถ) โ โข (๐ โ ๐ธ โ (๐น LMHom ๐)) | ||
Theorem | frlmup2 21732* | The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ธ = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โf ยท ๐ด))) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ = (Scalarโ๐)) & โข (๐ โ ๐ด:๐ผโถ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) & โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) โ โข (๐ โ (๐ธโ(๐โ๐)) = (๐ดโ๐)) | ||
Theorem | frlmup3 21733* | The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ธ = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โf ยท ๐ด))) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ = (Scalarโ๐)) & โข (๐ โ ๐ด:๐ผโถ๐ถ) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) โ โข (๐ โ ran ๐ธ = (๐พโran ๐ด)) | ||
Theorem | frlmup4 21734* | Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) |
โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ด:๐ผโถ๐ถ) โ โ!๐ โ (๐น LMHom ๐)(๐ โ ๐) = ๐ด) | ||
Theorem | ellspd 21735* | The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) |
โข ๐ = (LSpanโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐พ = (Baseโ๐) & โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข 0 = (0gโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข (๐ โ ๐น:๐ผโถ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) โ โข (๐ โ (๐ โ (๐โ(๐น โ ๐ผ)) โ โ๐ โ (๐พ โm ๐ผ)(๐ finSupp 0 โง ๐ = (๐ ฮฃg (๐ โf ยท ๐น))))) | ||
Theorem | elfilspd 21736* | Simplified version of ellspd 21735 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.) |
โข ๐ = (LSpanโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐พ = (Baseโ๐) & โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข 0 = (0gโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข (๐ โ ๐น:๐ผโถ๐ต) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ Fin) โ โข (๐ โ (๐ โ (๐โ(๐น โ ๐ผ)) โ โ๐ โ (๐พ โm ๐ผ)๐ = (๐ ฮฃg (๐ โf ยท ๐น)))) | ||
According to the definition in [Lang] p. 129: "A subset S of a module M is said to be linearly independent (over A) if whenever we have a linear combination โxโSaxx which is equal to 0, then ax = 0 for all x โ S", and according to the Definition in [Lang] p. 130: "a familiy {xi}iโI of elements of M is said to be linearly independent (over A) if whenever we have a linear combination โiโIaixi = 0, then ai = 0 for all i โ I." These definitions correspond to Definitions df-linds 21740 and df-lindf 21739 respectively, where it is claimed that a nonzero summand can be extracted (โiโ{I\{j}}aixi = -ajxj) and be represented as a linear combination of the remaining elements of the family. | ||
Syntax | clindf 21737 | The class relationship of independent families in a module. |
class LIndF | ||
Syntax | clinds 21738 | The class generator of independent sets in a module. |
class LIndS | ||
Definition | df-lindf 21739* |
An independent family is a family of vectors, no nonzero multiple of
which can be expressed as a linear combination of other elements of the
family. This is almost, but not quite, the same as a function into an
independent set.
This is a defined concept because it matters in many cases whether independence is taken at a set or family level. For instance, a number is transcedental iff its nonzero powers are linearly independent. Is 1 transcedental? It has only one nonzero power. We can almost define family independence as a family of unequal elements with independent range, as islindf3 21759, but taking that as primitive would lead to unpleasant corner case behavior with the zero ring. This is equivalent to the common definition of having no nontrivial representations of zero (islindf4 21771) and only one representation for each element of the range (islindf5 21772). (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข LIndF = {โจ๐, ๐คโฉ โฃ (๐:dom ๐โถ(Baseโ๐ค) โง [(Scalarโ๐ค) / ๐ ]โ๐ฅ โ dom ๐โ๐ โ ((Baseโ๐ ) โ {(0gโ๐ )}) ยฌ (๐( ยท๐ โ๐ค)(๐โ๐ฅ)) โ ((LSpanโ๐ค)โ(๐ โ (dom ๐ โ {๐ฅ}))))} | ||
Definition | df-linds 21740* | An independent set is a set which is independent as a family. See also islinds3 21767 and islinds4 21768. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข LIndS = (๐ค โ V โฆ {๐ โ ๐ซ (Baseโ๐ค) โฃ ( I โพ ๐ ) LIndF ๐ค}) | ||
Theorem | rellindf 21741 | The independent-family predicate is a proper relation and can be used with brrelex1i 5729. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข Rel LIndF | ||
Theorem | islinds 21742 | Property of an independent set of vectors in terms of an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) โ โข (๐ โ ๐ โ (๐ โ (LIndSโ๐) โ (๐ โ ๐ต โง ( I โพ ๐) LIndF ๐))) | ||
Theorem | linds1 21743 | An independent set of vectors is a set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) โ โข (๐ โ (LIndSโ๐) โ ๐ โ ๐ต) | ||
Theorem | linds2 21744 | An independent set of vectors is independent as a family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข (๐ โ (LIndSโ๐) โ ( I โพ ๐) LIndF ๐) | ||
Theorem | islindf 21745* | Property of an independent family of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐น โ ๐) โ (๐น LIndF ๐ โ (๐น:dom ๐นโถ๐ต โง โ๐ฅ โ dom ๐นโ๐ โ (๐ โ { 0 }) ยฌ (๐ ยท (๐นโ๐ฅ)) โ (๐พโ(๐น โ (dom ๐น โ {๐ฅ})))))) | ||
Theorem | islinds2 21746* | Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐) โ โข (๐ โ ๐ โ (๐น โ (LIndSโ๐) โ (๐น โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐น โ๐ โ (๐ โ { 0 }) ยฌ (๐ ยท ๐ฅ) โ (๐พโ(๐น โ {๐ฅ}))))) | ||
Theorem | islindf2 21747* | Property of an independent family of vectors with prior constrained domain and codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข 0 = (0gโ๐) โ โข ((๐ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐ โง ๐น:๐ผโถ๐ต) โ (๐น LIndF ๐ โ โ๐ฅ โ ๐ผ โ๐ โ (๐ โ { 0 }) ยฌ (๐ ยท (๐นโ๐ฅ)) โ (๐พโ(๐น โ (๐ผ โ {๐ฅ}))))) | ||
Theorem | lindff 21748 | Functional property of a linearly independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) โ โข ((๐น LIndF ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐น:dom ๐นโถ๐ต) | ||
Theorem | lindfind 21749 | A linearly independent family is independent: no nonzero element multiple can be expressed as a linear combination of the others. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ = (LSpanโ๐) & โข ๐ฟ = (Scalarโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ฟ) & โข ๐พ = (Baseโ๐ฟ) โ โข (((๐น LIndF ๐ โง ๐ธ โ dom ๐น) โง (๐ด โ ๐พ โง ๐ด โ 0 )) โ ยฌ (๐ด ยท (๐นโ๐ธ)) โ (๐โ(๐น โ (dom ๐น โ {๐ธ})))) | ||
Theorem | lindsind 21750 | A linearly independent set is independent: no nonzero element multiple can be expressed as a linear combination of the others. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ = (LSpanโ๐) & โข ๐ฟ = (Scalarโ๐) & โข 0 = (0gโ๐ฟ) & โข ๐พ = (Baseโ๐ฟ) โ โข (((๐น โ (LIndSโ๐) โง ๐ธ โ ๐น) โง (๐ด โ ๐พ โง ๐ด โ 0 )) โ ยฌ (๐ด ยท ๐ธ) โ (๐โ(๐น โ {๐ธ}))) | ||
Theorem | lindfind2 21751 | In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ฟ = (Scalarโ๐) โ โข (((๐ โ LMod โง ๐ฟ โ NzRing) โง ๐น LIndF ๐ โง ๐ธ โ dom ๐น) โ ยฌ (๐นโ๐ธ) โ (๐พโ(๐น โ (dom ๐น โ {๐ธ})))) | ||
Theorem | lindsind2 21752 | In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ฟ = (Scalarโ๐) โ โข (((๐ โ LMod โง ๐ฟ โ NzRing) โง ๐น โ (LIndSโ๐) โง ๐ธ โ ๐น) โ ยฌ ๐ธ โ (๐พโ(๐น โ {๐ธ}))) | ||
Theorem | lindff1 21753 | A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ฟ = (Scalarโ๐) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ฟ โ NzRing โง ๐น LIndF ๐) โ ๐น:dom ๐นโ1-1โ๐ต) | ||
Theorem | lindfrn 21754 | The range of an independent family is an independent set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ((๐ โ LMod โง ๐น LIndF ๐) โ ran ๐น โ (LIndSโ๐)) | ||
Theorem | f1lindf 21755 | Rearranging and deleting elements from an independent family gives an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ((๐ โ LMod โง ๐น LIndF ๐ โง ๐บ:๐พโ1-1โdom ๐น) โ (๐น โ ๐บ) LIndF ๐) | ||
Theorem | lindfres 21756 | Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ((๐ โ LMod โง ๐น LIndF ๐) โ (๐น โพ ๐) LIndF ๐) | ||
Theorem | lindsss 21757 | Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ((๐ โ LMod โง ๐น โ (LIndSโ๐) โง ๐บ โ ๐น) โ ๐บ โ (LIndSโ๐)) | ||
Theorem | f1linds 21758 | A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ((๐ โ LMod โง ๐ โ (LIndSโ๐) โง ๐น:๐ทโ1-1โ๐) โ ๐น LIndF ๐) | ||
Theorem | islindf3 21759 | In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ฟ = (Scalarโ๐) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ฟ โ NzRing) โ (๐น LIndF ๐ โ (๐น:dom ๐นโ1-1โV โง ran ๐น โ (LIndSโ๐)))) | ||
Theorem | lindfmm 21760 | Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) โ โข ((๐บ โ (๐ LMHom ๐) โง ๐บ:๐ตโ1-1โ๐ถ โง ๐น:๐ผโถ๐ต) โ (๐น LIndF ๐ โ (๐บ โ ๐น) LIndF ๐)) | ||
Theorem | lindsmm 21761 | Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) โ โข ((๐บ โ (๐ LMHom ๐) โง ๐บ:๐ตโ1-1โ๐ถ โง ๐น โ ๐ต) โ (๐น โ (LIndSโ๐) โ (๐บ โ ๐น) โ (LIndSโ๐))) | ||
Theorem | lindsmm2 21762 | The monomorphic image of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) โ โข ((๐บ โ (๐ LMHom ๐) โง ๐บ:๐ตโ1-1โ๐ถ โง ๐น โ (LIndSโ๐)) โ (๐บ โ ๐น) โ (LIndSโ๐)) | ||
Theorem | lsslindf 21763 | Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.) |
โข ๐ = (LSubSpโ๐) & โข ๐ = (๐ โพs ๐) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ โ ๐ โง ran ๐น โ ๐) โ (๐น LIndF ๐ โ ๐น LIndF ๐)) | ||
Theorem | lsslinds 21764 | Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ = (LSubSpโ๐) & โข ๐ = (๐ โพs ๐) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ โ ๐ โง ๐น โ ๐) โ (๐น โ (LIndSโ๐) โ ๐น โ (LIndSโ๐))) | ||
Theorem | islbs4 21765 | A basis is an independent spanning set. This could have been used as alternative definition of a basis: LBasis = (๐ค โ V โฆ {๐ โ ๐ซ (Baseโ๐ค) โฃ (((LSpanโ๐ค) โ๐) = (Baseโ๐ค) โง ๐ โ (LIndSโ๐ค))}). (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) โ โข (๐ โ ๐ฝ โ (๐ โ (LIndSโ๐) โง (๐พโ๐) = ๐ต)) | ||
Theorem | lbslinds 21766 | A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) โ โข ๐ฝ โ (LIndSโ๐) | ||
Theorem | islinds3 21767 | A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐พ = (LSpanโ๐) & โข ๐ = (๐ โพs (๐พโ๐)) & โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) โ โข (๐ โ LMod โ (๐ โ (LIndSโ๐) โ ๐ โ ๐ฝ)) | ||
Theorem | islinds4 21768* | A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. This is an axiom of choice equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) |
โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) โ โข (๐ โ LVec โ (๐ โ (LIndSโ๐) โ โ๐ โ ๐ฝ ๐ โ ๐)) | ||
Theorem | lmimlbs 21769 | The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) & โข ๐พ = (LBasisโ๐) โ โข ((๐น โ (๐ LMIso ๐) โง ๐ต โ ๐ฝ) โ (๐น โ ๐ต) โ ๐พ) | ||
Theorem | lmiclbs 21770 | Having a basis is an isomorphism invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) & โข ๐พ = (LBasisโ๐) โ โข (๐ โ๐ ๐ โ (๐ฝ โ โ โ ๐พ โ โ )) | ||
Theorem | islindf4 21771* | A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐) & โข ๐ = (Scalarโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข 0 = (0gโ๐) & โข ๐ = (0gโ๐ ) & โข ๐ฟ = (Baseโ(๐ freeLMod ๐ผ)) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ผ โ ๐ โง ๐น:๐ผโถ๐ต) โ (๐น LIndF ๐ โ โ๐ฅ โ ๐ฟ ((๐ ฮฃg (๐ฅ โf ยท ๐น)) = 0 โ ๐ฅ = (๐ผ ร {๐})))) | ||
Theorem | islindf5 21772* | A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ธ = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โf ยท ๐ด))) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ = (Scalarโ๐)) & โข (๐ โ ๐ด:๐ผโถ๐ถ) โ โข (๐ โ (๐ด LIndF ๐ โ ๐ธ:๐ตโ1-1โ๐ถ)) | ||
Theorem | indlcim 21773* | An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐น = (๐ freeLMod ๐ผ) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ๐ถ = (Baseโ๐) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ๐ = (LSpanโ๐) & โข ๐ธ = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โf ยท ๐ด))) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ = (Scalarโ๐)) & โข (๐ โ ๐ด:๐ผโontoโ๐ฝ) & โข (๐ โ ๐ด LIndF ๐) & โข (๐ โ (๐โ๐ฝ) = ๐ถ) โ โข (๐ โ ๐ธ โ (๐น LMIso ๐)) | ||
Theorem | lbslcic 21774 | A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐น = (Scalarโ๐) & โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) โ โข ((๐ โ LMod โง ๐ต โ ๐ฝ โง ๐ผ โ ๐ต) โ ๐ โ๐ (๐น freeLMod ๐ผ)) | ||
Theorem | lmisfree 21775* | A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 21052 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) |
โข ๐ฝ = (LBasisโ๐) & โข ๐น = (Scalarโ๐) โ โข (๐ โ LMod โ (๐ฝ โ โ โ โ๐ ๐ โ๐ (๐น freeLMod ๐))) | ||
Theorem | lvecisfrlm 21776* | Every vector space is isomorphic to a free module. (Contributed by AV, 7-Mar-2019.) |
โข ๐น = (Scalarโ๐) โ โข (๐ โ LVec โ โ๐ ๐ โ๐ (๐น freeLMod ๐)) | ||
Theorem | lmimco 21777 | The composition of two isomorphisms of modules is an isomorphism of modules. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.) |
โข ((๐น โ (๐ LMIso ๐) โง ๐บ โ (๐ LMIso ๐)) โ (๐น โ ๐บ) โ (๐ LMIso ๐)) | ||
Theorem | lmictra 21778 | Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.) |
โข ((๐ โ๐ ๐ โง ๐ โ๐ ๐) โ ๐ โ๐ ๐) | ||
Theorem | uvcf1o 21779 | In a nonzero ring, the mapping of the index set of a free module onto the unit vectors of the free module is a 1-1 onto function. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) โ โข ((๐ โ NzRing โง ๐ผ โ ๐) โ ๐:๐ผโ1-1-ontoโran ๐) | ||
Theorem | uvcendim 21780 | In a nonzero ring, the number of unit vectors of a free module corresponds to the dimension of the free module. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.) |
โข ๐ = (๐ unitVec ๐ผ) โ โข ((๐ โ NzRing โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ผ โ ran ๐) | ||
Theorem | frlmisfrlm 21781 | A free module is isomorphic to a free module over the same (nonzero) ring, with the same cardinality. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.) |
โข ((๐ โ NzRing โง ๐ผ โ ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ) โ (๐ freeLMod ๐ผ) โ๐ (๐ freeLMod ๐ฝ)) | ||
Theorem | frlmiscvec 21782 | Every free module is isomorphic to the free module of "column vectors" of the same dimension over the same (nonzero) ring. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.) |
โข ((๐ โ NzRing โง ๐ผ โ ๐) โ (๐ freeLMod ๐ผ) โ๐ (๐ freeLMod (๐ผ ร {โ }))) | ||
Syntax | casa 21783 | Associative algebra. |
class AssAlg | ||
Syntax | casp 21784 | Algebraic span function. |
class AlgSpan | ||
Syntax | cascl 21785 | Class of algebra scalar injection function. |
class algSc | ||
Definition | df-assa 21786* | Definition of an associative algebra. An associative algebra is a set equipped with a left-module structure on a ring, coupled with a multiplicative internal operation on the vectors of the module that is associative and distributive for the additive structure of the left-module (so giving the vectors a ring structure) and that is also bilinear under the scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by SN, 2-Mar-2025.) |
โข AssAlg = {๐ค โ (LMod โฉ Ring) โฃ [(Scalarโ๐ค) / ๐]โ๐ โ (Baseโ๐)โ๐ฅ โ (Baseโ๐ค)โ๐ฆ โ (Baseโ๐ค)[( ยท๐ โ๐ค) / ๐ ][(.rโ๐ค) / ๐ก](((๐๐ ๐ฅ)๐ก๐ฆ) = (๐๐ (๐ฅ๐ก๐ฆ)) โง (๐ฅ๐ก(๐๐ ๐ฆ)) = (๐๐ (๐ฅ๐ก๐ฆ)))} | ||
Definition | df-asp 21787* | Define the algebraic span of a set of vectors in an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) |
โข AlgSpan = (๐ค โ AssAlg โฆ (๐ โ ๐ซ (Baseโ๐ค) โฆ โฉ {๐ก โ ((SubRingโ๐ค) โฉ (LSubSpโ๐ค)) โฃ ๐ โ ๐ก})) | ||
Definition | df-ascl 21788* | Every unital algebra contains a canonical homomorphic image of its ring of scalars as scalar multiples of the unity element. This names the homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) |
โข algSc = (๐ค โ V โฆ (๐ฅ โ (Baseโ(Scalarโ๐ค)) โฆ (๐ฅ( ยท๐ โ๐ค)(1rโ๐ค)))) | ||
Theorem | isassa 21789* | The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by SN, 2-Mar-2025.) |
โข ๐ = (Baseโ๐) & โข ๐น = (Scalarโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ร = (.rโ๐) โ โข (๐ โ AssAlg โ ((๐ โ LMod โง ๐ โ Ring) โง โ๐ โ ๐ต โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (((๐ ยท ๐ฅ) ร ๐ฆ) = (๐ ยท (๐ฅ ร ๐ฆ)) โง (๐ฅ ร (๐ ยท ๐ฆ)) = (๐ ยท (๐ฅ ร ๐ฆ))))) | ||
Theorem | assalem 21790 | The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) |
โข ๐ = (Baseโ๐) & โข ๐น = (Scalarโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ร = (.rโ๐) โ โข ((๐ โ AssAlg โง (๐ด โ ๐ต โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (((๐ด ยท ๐) ร ๐) = (๐ด ยท (๐ ร ๐)) โง (๐ ร (๐ด ยท ๐)) = (๐ด ยท (๐ ร ๐)))) | ||
Theorem | assaass 21791 | Left-associative property of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) |
โข ๐ = (Baseโ๐) & โข ๐น = (Scalarโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ร = (.rโ๐) โ โข ((๐ โ AssAlg โง (๐ด โ ๐ต โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ด ยท ๐) ร ๐) = (๐ด ยท (๐ ร ๐))) | ||
Theorem | assaassr 21792 | Right-associative property of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) |
โข ๐ = (Baseโ๐) & โข ๐น = (Scalarโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ร = (.rโ๐) โ โข ((๐ โ AssAlg โง (๐ด โ ๐ต โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐ ร (๐ด ยท ๐)) = (๐ด ยท (๐ ร ๐))) | ||
Theorem | assalmod 21793 | An associative algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) |
โข (๐ โ AssAlg โ ๐ โ LMod) | ||
Theorem | assaring 21794 | An associative algebra is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) |
โข (๐ โ AssAlg โ ๐ โ Ring) | ||
Theorem | assasca 21795 | The scalars of an associative algebra form a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by SN, 2-Mar-2025.) |
โข ๐น = (Scalarโ๐) โ โข (๐ โ AssAlg โ ๐น โ Ring) | ||
Theorem | assa2ass 21796 | Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.) |
โข ๐ = (Baseโ๐) & โข ๐น = (Scalarโ๐) & โข ๐ต = (Baseโ๐น) & โข โ = (.rโ๐น) & โข ยท = ( ยท๐ โ๐) & โข ร = (.rโ๐) โ โข ((๐ โ AssAlg โง (๐ด โ ๐ต โง ๐ถ โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ด ยท ๐) ร (๐ถ ยท ๐)) = ((๐ถ โ ๐ด) ยท (๐ ร ๐))) | ||
Theorem | isassad 21797* | Sufficient condition for being an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by SN, 2-Mar-2025.) |
โข (๐ โ ๐ = (Baseโ๐)) & โข (๐ โ ๐น = (Scalarโ๐)) & โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ๐น)) & โข (๐ โ ยท = ( ยท๐ โ๐)) & โข (๐ โ ร = (.rโ๐)) & โข (๐ โ ๐ โ LMod) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ต โง ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐ฅ) ร ๐ฆ) = (๐ ยท (๐ฅ ร ๐ฆ))) & โข ((๐ โง (๐ โ ๐ต โง ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ ร (๐ ยท ๐ฆ)) = (๐ ยท (๐ฅ ร ๐ฆ))) โ โข (๐ โ ๐ โ AssAlg) | ||
Theorem | issubassa3 21798 | A subring that is also a subspace is a subalgebra. The key theorem is islss3 20842. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) |
โข ๐ = (๐ โพs ๐ด) & โข ๐ฟ = (LSubSpโ๐) โ โข ((๐ โ AssAlg โง (๐ด โ (SubRingโ๐) โง ๐ด โ ๐ฟ)) โ ๐ โ AssAlg) | ||
Theorem | issubassa 21799 | The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) |
โข ๐ = (๐ โพs ๐ด) & โข ๐ฟ = (LSubSpโ๐) & โข ๐ = (Baseโ๐) & โข 1 = (1rโ๐) โ โข ((๐ โ AssAlg โง 1 โ ๐ด โง ๐ด โ ๐) โ (๐ โ AssAlg โ (๐ด โ (SubRingโ๐) โง ๐ด โ ๐ฟ))) | ||
Theorem | sraassab 21800 | A subring algebra is an associative algebra if and only if the subring is included in the ring's center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.) |
โข ๐ด = ((subringAlg โ๐)โ๐) & โข ๐ = (Cntrโ(mulGrpโ๐)) & โข (๐ โ ๐ โ Ring) & โข (๐ โ ๐ โ (SubRingโ๐)) โ โข (๐ โ (๐ด โ AssAlg โ ๐ โ ๐)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |