Theorem lindsss 22131

Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindsss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 22117	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sstr2 3915	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
5	3, 4	syl5com 32	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺 ⊆ 𝐹 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
6	5	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8		linds2 22118	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10		lindfres 22130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12		resabs1 5996	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
13	12	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14	13	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
15	11, 14	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
16	1	islinds 22116	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17	16	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
18	6, 15, 17	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  Basecbs 17388  LModclmod 21136   LIndF clindf 22111  LIndSclinds 22112

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-1cn 11259  ax-addcl 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-nn 12337  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lindf 22113  df-linds 22114

This theorem is used by:  islinds4  22142  linds2eq  33979  dimkerim  34302