Theorem lindsss 21767

Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindsss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 21753	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sstr2 3936	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
5	3, 4	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺 ⊆ 𝐹 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
6	5	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8		linds2 21754	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10		lindfres 21766	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12		resabs1 5960	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
13	12	breq1d 5103	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14	13	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
15	11, 14	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
16	1	islinds 21752	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17	16	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
18	6, 15, 17	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5093   I cid 5513   ↾ cres 5621  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  LModclmod 20799   LIndF clindf 21747  LIndSclinds 21748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-1cn 11070  ax-addcl 11072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12132  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lindf 21749  df-linds 21750

This theorem is referenced by:  islinds4  21778  linds2eq  33353  dimkerim  33647