Theorem lindsss 21804

Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindsss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 21790	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sstr2 3929	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
5	3, 4	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺 ⊆ 𝐹 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
6	5	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8		linds2 21791	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
9	8	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10		lindfres 21803	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
11	7, 9, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12		resabs1 5972	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
13	12	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14	13	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
15	11, 14	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
16	1	islinds 21789	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17	16	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
18	6, 15, 17	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  LModclmod 20855   LIndF clindf 21784  LIndSclinds 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lindf 21786  df-linds 21787

This theorem is referenced by:  islinds4  21815  linds2eq  33441  dimkerim  33771