MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsss 21246
Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21232 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
32adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 sstr2 3952 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
53, 4syl5com 31 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
653impia 1118 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
7 simp1 1137 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 linds2 21233 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
983ad2ant2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
10 lindfres 21245 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)
117, 9, 10syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)
12 resabs1 5968 . . . . 5 (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) = ( I β†Ύ 𝐺))
1312breq1d 5116 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š ↔ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š))
14133ad2ant3 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ ((( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š ↔ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š))
1511, 14mpbid 231 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)
161islinds 21231 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)))
17163ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ (𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)))
186, 15, 17mpbir2and 712 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  LModclmod 20336   LIndF clindf 21226  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  islinds4  21257  linds2eq  32216  dimkerim  32379
  Copyright terms: Public domain W3C validator