Theorem lindsss 20941

Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindsss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 20927	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sstr2 3924	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
5	3, 4	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺 ⊆ 𝐹 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
6	5	3impia 1115	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8		linds2 20928	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
9	8	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10		lindfres 20940	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
11	7, 9, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12		resabs1 5910	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
13	12	breq1d 5080	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14	13	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
15	11, 14	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
16	1	islinds 20926	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17	16	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
18	6, 15, 17	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   I cid 5479   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  LModclmod 20038   LIndF clindf 20921  LIndSclinds 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lindf 20923  df-linds 20924

This theorem is referenced by:  islinds4  20952  linds2eq  31477  dimkerim  31610