MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsss 21862
Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
21linds1 21848 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
32adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sstr2 4002 . . . 4 (𝐺𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
53, 4syl5com 31 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺𝐹𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
653impia 1116 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7 simp1 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8 linds2 21849 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
983ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10 lindfres 21861 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
117, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12 resabs1 6027 . . . . 5 (𝐺𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
1312breq1d 5158 . . . 4 (𝐺𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14133ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
1511, 14mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
161islinds 21847 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17163ad2ant1 1132 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
186, 15, 17mpbir2and 713 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  Basecbs 17245  LModclmod 20875   LIndF clindf 21842  LIndSclinds 21843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lindf 21844  df-linds 21845
This theorem is referenced by:  islinds4  21873  linds2eq  33389  dimkerim  33655
  Copyright terms: Public domain W3C validator