Theorem lindsss 21766

Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindsss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 21752	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sstr2 3950	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
5	3, 4	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺 ⊆ 𝐹 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
6	5	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8		linds2 21753	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10		lindfres 21765	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12		resabs1 5966	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
13	12	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14	13	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
15	11, 14	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
16	1	islinds 21751	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17	16	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
18	6, 15, 17	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  LModclmod 20798   LIndF clindf 21746  LIndSclinds 21747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lindf 21748  df-linds 21749

This theorem is referenced by:  islinds4  21777  linds2eq  33345  dimkerim  33616