MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindsss 21379
Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
21linds1 21365 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
32adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 sstr2 3990 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ (𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
53, 4syl5com 31 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
653impia 1118 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
7 simp1 1137 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 linds2 21366 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
983ad2ant2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)
10 lindfres 21378 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)
117, 9, 10syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)
12 resabs1 6012 . . . . 5 (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) = ( I β†Ύ 𝐺))
1312breq1d 5159 . . . 4 (𝐺 βŠ† 𝐹 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š ↔ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š))
14133ad2ant3 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ ((( I β†Ύ 𝐹) β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š ↔ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š))
1511, 14mpbid 231 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)
161islinds 21364 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)))
17163ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ (𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝐺) LIndF π‘Š)))
186, 15, 17mpbir2and 712 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺 βŠ† 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  LModclmod 20471   LIndF clindf 21359  LIndSclinds 21360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lindf 21361  df-linds 21362
This theorem is referenced by:  islinds4  21390  linds2eq  32497  dimkerim  32712
  Copyright terms: Public domain W3C validator