Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsss 20516
 Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
21linds1 20502 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
32adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sstr2 3925 . . . 4 (𝐺𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
53, 4syl5com 31 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺𝐹𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
653impia 1114 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7 simp1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8 linds2 20503 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
983ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10 lindfres 20515 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
117, 9, 10syl2anc 587 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12 resabs1 5852 . . . . 5 (𝐺𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
1312breq1d 5043 . . . 4 (𝐺𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14133ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
1511, 14mpbid 235 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
161islinds 20501 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17163ad2ant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
186, 15, 17mpbir2and 712 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033   I cid 5427   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  Basecbs 16478  LModclmod 19630   LIndF clindf 20496  LIndSclinds 20497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-slot 16482  df-base 16484  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lindf 20498  df-linds 20499 This theorem is referenced by:  islinds4  20527  linds2eq  30998  dimkerim  31111
 Copyright terms: Public domain W3C validator