MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsss 21844
Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
21linds1 21830 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
32adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sstr2 3990 . . . 4 (𝐺𝐹 → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
53, 4syl5com 31 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)) → (𝐺𝐹𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)))
653impia 1118 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
7 simp1 1137 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
8 linds2 21831 . . . . 5 (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
983ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)
10 lindfres 21843 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
117, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
12 resabs1 6024 . . . . 5 (𝐺𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) = ( I ↾ 𝐺))
1312breq1d 5153 . . . 4 (𝐺𝐹 → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
14133ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ((( I ↾ 𝐹) ↾ 𝐺) LIndF 𝑊 ↔ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊))
1511, 14mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)
161islinds 21829 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
17163ad2ant1 1134 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐺 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐺) LIndF 𝑊)))
186, 15, 17mpbir2and 713 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  Basecbs 17247  LModclmod 20858   LIndF clindf 21824  LIndSclinds 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lindf 21826  df-linds 21827
This theorem is referenced by:  islinds4  21855  linds2eq  33409  dimkerim  33678
  Copyright terms: Public domain W3C validator