Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngdimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngdimgt0 33221
Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
drngdimgt0 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 0 < (dimβ€˜πΉ))
Proof of Theorem drngdimgt0
StepHypRef Expression
1 1m1e0 12288 . 2 (1 βˆ’ 1) = 0
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ LVec)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
4 drngring 20594 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
75, 6ringidcl 20165 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
83, 4, 73syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
109, 6drngunz 20606 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)})) = (𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))
145, 12, 9, 13lsatdim 33220 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ)) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) = 1)
152, 8, 11, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) = 1)
16 lveclmod 20954 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ LMod)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ LMod)
188snssd 4807 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ {(1rβ€˜πΉ)} βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜πΉ) = (LSubSpβ€˜πΉ)
205, 19, 12lspcl 20823 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1rβ€˜πΉ)} βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
2117, 18, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
2213lssdimle 33210 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ)) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) ≀ (dimβ€˜πΉ))
232, 21, 22syl2anc 583 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) ≀ (dimβ€˜πΉ))
2415, 23eqbrtrrd 5165 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 1 ≀ (dimβ€˜πΉ))
25 1nn0 12492 . . . 4 1 ∈ β„•0
26 dimcl 33205 . . . . 5 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*)
28 xnn0lem1lt 13229 . . . 4 ((1 ∈ β„•0 ∧ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*) β†’ (1 ≀ (dimβ€˜πΉ) ↔ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ)))
2925, 27, 28sylancr 586 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1 ≀ (dimβ€˜πΉ) ↔ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ)))
3024, 29mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ))
311, 30eqbrtrrid 5177 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 0 < (dimβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„•0*cxnn0 12548  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  dimcldim 33201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-r1 9761  df-rank 9762  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18278  df-ipo 18493  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lbs 20923  df-lvec 20951  df-lindf 21701  df-linds 21702  df-dim 33202
This theorem is referenced by:  extdggt0  33254
  Copyright terms: Public domain W3C validator