Theorem drngdimgt0 33669

Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
drngdimgt0	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 12338	. 2 ⊢ (1 − 1) = 0
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4		drngring 20736	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
7	5, 6	ringidcl 20262	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
10	9, 6	drngunz 20747	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)})) = (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))
14	5, 12, 9, 13	lsatdim 33668	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
15	2, 8, 11, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
16		lveclmod 21105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
18	8	snssd 4809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
20	5, 19, 12	lspcl 20974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
22	13	lssdimle 33658	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
23	2, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
24	15, 23	eqbrtrrd 5167	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25		1nn0 12542	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		dimcl 33653	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28		xnn0lem1lt 13286	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
29	25, 27, 28	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
30	24, 29	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
31	1, 30	eqbrtrrid 5179	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ℕ₀^*cxnn0 12599  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  dimcldim 33649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-dim 33650

This theorem is referenced by:  extdggt0  33708