Theorem drngdimgt0 31750

Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
drngdimgt0	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 12095	. 2 ⊢ (1 − 1) = 0
2		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4		drngring 20047	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
7	5, 6	ringidcl 19856	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
10	9, 6	drngunz 20055	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
11	10	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)})) = (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))
14	5, 12, 9, 13	lsatdim 31749	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
15	2, 8, 11, 14	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
16		lveclmod 20417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
17	16	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
18	8	snssd 4748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
20	5, 19, 12	lspcl 20287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
21	17, 18, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
22	13	lssdimle 31740	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
23	2, 21, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
24	15, 23	eqbrtrrd 5105	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25		1nn0 12299	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		dimcl 31737	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
27	26	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28		xnn0lem1lt 13028	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
29	25, 27, 28	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
30	24, 29	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
31	1, 30	eqbrtrrid 5117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3892  {csn 4565   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10921  1c1 10922   < clt 11059   ≤ cle 11060   − cmin 11255  ℕ₀cn0 12283  ℕ₀^*cxnn0 12355  Basecbs 16961   ↾_s cress 16990  0_gc0g 17199  1_rcur 19786  Ringcrg 19832  DivRingcdr 20040  LModclmod 20172  LSubSpclss 20242  LSpanclspn 20282  LVecclvec 20413  dimcldim 31733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-reg 9399  ax-inf2 9447  ax-ac2 10269  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-rpss 7608  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-oi 9317  df-r1 9570  df-rank 9571  df-dju 9707  df-card 9745  df-acn 9748  df-ac 9922  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-xnn0 12356  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-fz 13290  df-hash 14095  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-tset 17030  df-ple 17031  df-ocomp 17032  df-0g 17201  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-mri 17346  df-acs 17347  df-proset 18062  df-drs 18063  df-poset 18080  df-ipo 18295  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933  df-invr 19963  df-drng 20042  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-lbs 20386  df-lvec 20414  df-nzr 20578  df-lindf 21062  df-linds 21063  df-dim 31734

This theorem is referenced by:  extdggt0  31781