Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngdimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngdimgt0 32691
Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
drngdimgt0 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 0 < (dimβ€˜πΉ))
Proof of Theorem drngdimgt0
StepHypRef Expression
1 1m1e0 12280 . 2 (1 βˆ’ 1) = 0
2 simpl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ LVec)
3 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
4 drngring 20314 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
75, 6ringidcl 20076 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
83, 4, 73syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
109, 6drngunz 20326 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)})) = (𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))
145, 12, 9, 13lsatdim 32690 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ)) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) = 1)
152, 8, 11, 14syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) = 1)
16 lveclmod 20709 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ LMod)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ LMod)
188snssd 4811 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ {(1rβ€˜πΉ)} βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
19 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜πΉ) = (LSubSpβ€˜πΉ)
205, 19, 12lspcl 20579 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1rβ€˜πΉ)} βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
2213lssdimle 32680 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ)) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) ≀ (dimβ€˜πΉ))
232, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) ≀ (dimβ€˜πΉ))
2415, 23eqbrtrrd 5171 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 1 ≀ (dimβ€˜πΉ))
25 1nn0 12484 . . . 4 1 ∈ β„•0
26 dimcl 32676 . . . . 5 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*)
28 xnn0lem1lt 13219 . . . 4 ((1 ∈ β„•0 ∧ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*) β†’ (1 ≀ (dimβ€˜πΉ) ↔ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ)))
2925, 27, 28sylancr 587 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1 ≀ (dimβ€˜πΉ) ↔ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ)))
3024, 29mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ))
311, 30eqbrtrrid 5183 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 0 < (dimβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  β„•0*cxnn0 12540  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381  1rcur 19998  Ringcrg 20049  DivRingcdr 20307  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  dimcldim 32672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-r1 9755  df-rank 9756  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ocomp 17214  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528  df-acs 17529  df-proset 18244  df-drs 18245  df-poset 18262  df-ipo 18477  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lbs 20678  df-lvec 20706  df-lindf 21352  df-linds 21353  df-dim 32673
This theorem is referenced by:  extdggt0  32724
  Copyright terms: Public domain W3C validator