Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngdimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem drngdimgt0 33372
Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
drngdimgt0 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 0 < (dimβ€˜πΉ))
Proof of Theorem drngdimgt0
StepHypRef Expression
1 1m1e0 12312 . 2 (1 βˆ’ 1) = 0
2 simpl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ LVec)
3 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
4 drngring 20633 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
75, 6ringidcl 20204 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
83, 4, 73syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
109, 6drngunz 20645 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
13 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)})) = (𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))
145, 12, 9, 13lsatdim 33371 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ)) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) = 1)
152, 8, 11, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) = 1)
16 lveclmod 20993 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ LMod)
1716adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 𝐹 ∈ LMod)
188snssd 4808 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ {(1rβ€˜πΉ)} βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
19 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜πΉ) = (LSubSpβ€˜πΉ)
205, 19, 12lspcl 20862 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1rβ€˜πΉ)} βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
2117, 18, 20syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
2213lssdimle 33361 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΉ)) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) ≀ (dimβ€˜πΉ))
232, 21, 22syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝐹 β†Ύs ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}))) ≀ (dimβ€˜πΉ))
2415, 23eqbrtrrd 5167 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 1 ≀ (dimβ€˜πΉ))
25 1nn0 12516 . . . 4 1 ∈ β„•0
26 dimcl 33356 . . . . 5 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*)
2726adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*)
28 xnn0lem1lt 13253 . . . 4 ((1 ∈ β„•0 ∧ (dimβ€˜πΉ) ∈ β„•0*) β†’ (1 ≀ (dimβ€˜πΉ) ↔ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ)))
2925, 27, 28sylancr 585 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1 ≀ (dimβ€˜πΉ) ↔ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ)))
3024, 29mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ (1 βˆ’ 1) < (dimβ€˜πΉ))
311, 30eqbrtrrid 5179 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) β†’ 0 < (dimβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3940  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„•0cn0 12500  β„•0*cxnn0 12572  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418  1rcur 20123  Ringcrg 20175  DivRingcdr 20626  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  dimcldim 33352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-reg 9613  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-rpss 7725  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-oi 9531  df-r1 9785  df-rank 9786  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ocomp 17251  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-mri 17565  df-acs 17566  df-proset 18284  df-drs 18285  df-poset 18302  df-ipo 18517  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-nzr 20454  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lbs 20962  df-lvec 20990  df-lindf 21742  df-linds 21743  df-dim 33353
This theorem is referenced by:  extdggt0  33405
  Copyright terms: Public domain W3C validator