Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngdimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngdimgt0 33646
Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
drngdimgt0 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0
StepHypRef Expression
1 1m1e0 12336 . 2 (1 − 1) = 0
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4 drngring 20753 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
75, 6ringidcl 20280 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
83, 4, 73syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐹) = (0g𝐹)
109, 6drngunz 20764 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)})) = (𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))
145, 12, 9, 13lsatdim 33645 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ≠ (0g𝐹)) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) = 1)
152, 8, 11, 14syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) = 1)
16 lveclmod 21123 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
188snssd 4814 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19 eqid 2735 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
205, 19, 12lspcl 20992 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
2213lssdimle 33635 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
232, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
2415, 23eqbrtrrd 5172 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25 1nn0 12540 . . . 4 1 ∈ ℕ0
26 dimcl 33630 . . . . 5 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28 xnn0lem1lt 13283 . . . 4 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
2925, 27, 28sylancr 587 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
3024, 29mpbid 232 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
311, 30eqbrtrrid 5184 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  0*cxnn0 12597  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  dimcldim 33626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-r1 9802  df-rank 9803  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-mri 17633  df-acs 17634  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lbs 21092  df-lvec 21120  df-lindf 21844  df-linds 21845  df-dim 33627
This theorem is referenced by:  extdggt0  33685
  Copyright terms: Public domain W3C validator