Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngdimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngdimgt0 31084
 Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
drngdimgt0 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0
StepHypRef Expression
1 1m1e0 11708 . 2 (1 − 1) = 0
2 simpl 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4 drngring 19511 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 eqid 2824 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
75, 6ringidcl 19323 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
83, 4, 73syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝐹) = (0g𝐹)
109, 6drngunz 19519 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
1110adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
12 eqid 2824 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13 eqid 2824 . . . . . 6 (𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)})) = (𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))
145, 12, 9, 13lsatdim 31083 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ≠ (0g𝐹)) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) = 1)
152, 8, 11, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) = 1)
16 lveclmod 19880 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
1716adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
188snssd 4726 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19 eqid 2824 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
205, 19, 12lspcl 19750 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
2117, 18, 20syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
2213lssdimle 31074 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
232, 21, 22syl2anc 587 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
2415, 23eqbrtrrd 5077 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25 1nn0 11912 . . . 4 1 ∈ ℕ0
26 dimcl 31071 . . . . 5 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
2726adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28 xnn0lem1lt 12636 . . . 4 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
2925, 27, 28sylancr 590 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
3024, 29mpbid 235 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
311, 30eqbrtrrid 5089 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ⊆ wss 3919  {csn 4550   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕ0cn0 11896  ℕ0*cxnn0 11966  Basecbs 16485   ↾s cress 16486  0gc0g 16715  1rcur 19253  Ringcrg 19299  DivRingcdr 19504  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745  LVecclvec 19876  dimcldim 31067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-reg 9055  ax-inf2 9103  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-rpss 7445  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-oi 8973  df-r1 9192  df-rank 9193  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-hash 13698  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ocomp 16588  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-mri 16861  df-acs 16862  df-proset 17540  df-drs 17541  df-poset 17558  df-ipo 17764  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-invr 19427  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lbs 19849  df-lvec 19877  df-nzr 20033  df-lindf 20504  df-linds 20505  df-dim 31068 This theorem is referenced by:  extdggt0  31115
 Copyright terms: Public domain W3C validator