Theorem drngdimgt0 33955

Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
drngdimgt0	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 12315	. 2 ⊢ (1 − 1) = 0
2		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4		drngring 20822	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
7	5, 6	ringidcl 20350	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	3, 4, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
10	9, 6	drngunz 20833	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
11	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)})) = (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))
14	5, 12, 9, 13	lsatdim 33954	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
15	2, 8, 11, 14	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
16		lveclmod 21207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
18	8	snssd 4757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
20	5, 19, 12	lspcl 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
21	17, 18, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
22	13	lssdimle 33945	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
23	2, 21, 22	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
24	15, 23	eqbrtrrd 5139	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25		1nn0 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		dimcl 33940	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
27	26	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28		xnn0lem1lt 13272	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
29	25, 27, 28	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
30	24, 29	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
31	1, 30	eqbrtrrid 5151	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11443  ℕ₀cn0 12506  ℕ₀^*cxnn0 12579  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  0_gc0g 17494  1_rcur 20265  Ringcrg 20317  DivRingcdr 20815  LModclmod 20961  LSubSpclss 21032  LSpanclspn 21072  LVecclvec 21203  dimcldim 33936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-reg 9556  ax-inf2 9612  ax-ac2 10449  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7723  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9474  df-r1 9738  df-rank 9739  df-dju 9889  df-card 9927  df-acn 9930  df-ac 10102  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ocomp 17333  df-0g 17496  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-mri 17642  df-acs 17643  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-nzr 20598  df-drng 20817  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-lbs 21176  df-lvec 21204  df-lindf 21927  df-linds 21928  df-dim 33937

This theorem is referenced by:  extdggt0  33994