Theorem drngdimgt0 33814

Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
drngdimgt0	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 12248	. 2 ⊢ (1 − 1) = 0
2		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4		drngring 20712	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
7	5, 6	ringidcl 20241	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	3, 4, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
10	9, 6	drngunz 20723	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
11	10	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
12		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)})) = (𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))
14	5, 12, 9, 13	lsatdim 33813	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
15	2, 8, 11, 14	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) = 1)
16		lveclmod 21100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
17	16	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
18	8	snssd 4721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
20	5, 19, 12	lspcl 20970	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r‘𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
21	17, 18, 20	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
22	13	lssdimle 33804	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
23	2, 21, 22	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹 ↾s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
24	15, 23	eqbrtrrd 5099	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25		1nn0 12448	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		dimcl 33799	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
27	26	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28		xnn0lem1lt 13191	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
29	25, 27, 28	sylancr 594	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
30	24, 29	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
31	1, 30	eqbrtrrid 5111	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ⊆ wss 3885  {csn 4558   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ℕ₀^*cxnn0 12505  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  DivRingcdr 20705  LModclmod 20854  LSubSpclss 20925  LSpanclspn 20965  LVecclvec 21096  dimcldim 33795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-reg 9501  ax-inf2 9557  ax-ac2 10380  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-r1 9683  df-rank 9684  df-dju 9820  df-card 9858  df-acn 9861  df-ac 10033  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ocomp 17236  df-0g 17399  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-mri 17545  df-acs 17546  df-proset 18255  df-drs 18256  df-poset 18274  df-ipo 18489  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-nzr 20489  df-drng 20707  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966  df-lbs 21069  df-lvec 21097  df-lindf 21785  df-linds 21786  df-dim 33796

This theorem is referenced by:  extdggt0  33853