Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drngdimgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngdimgt0 32641
Description: The dimension of a vector space that is also a division ring is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
drngdimgt0 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))

Proof of Theorem drngdimgt0
StepHypRef Expression
1 1m1e0 12271 . 2 (1 − 1) = 0
2 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LVec)
3 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ DivRing)
4 drngring 20300 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
75, 6ringidcl 20064 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
83, 4, 73syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (0g𝐹) = (0g𝐹)
109, 6drngunz 20311 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
1110adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)})) = (𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))
145, 12, 9, 13lsatdim 32640 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ≠ (0g𝐹)) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) = 1)
152, 8, 11, 14syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) = 1)
16 lveclmod 20694 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ LMod)
1716adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 𝐹 ∈ LMod)
188snssd 4808 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → {(1r𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹))
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
205, 19, 12lspcl 20564 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LMod ∧ {(1r𝐹)} ⊆ (Base‘𝐹)) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
2117, 18, 20syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹))
2213lssdimle 32631 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) ∈ (LSubSp‘𝐹)) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
232, 21, 22syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘(𝐹s ((LSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}))) ≤ (dim‘𝐹))
2415, 23eqbrtrrd 5168 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 1 ≤ (dim‘𝐹))
25 1nn0 12475 . . . 4 1 ∈ ℕ0
26 dimcl 32627 . . . . 5 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
2726adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*)
28 xnn0lem1lt 13210 . . . 4 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (dim‘𝐹) ∈ ℕ0*) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
2925, 27, 28sylancr 588 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 ≤ (dim‘𝐹) ↔ (1 − 1) < (dim‘𝐹)))
3024, 29mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → (1 − 1) < (dim‘𝐹))
311, 30eqbrtrrid 5180 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → 0 < (dim‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wss 3946  {csn 4624   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097  1c1 11098   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431  0cn0 12459  0*cxnn0 12531  Basecbs 17131  s cress 17160  0gc0g 17372  1rcur 19987  Ringcrg 20038  DivRingcdr 20293  LModclmod 20448  LSubSpclss 20519  LSpanclspn 20559  LVecclvec 20690  dimcldim 32623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-reg 9574  ax-inf2 9623  ax-ac2 10445  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-rpss 7700  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-oi 9492  df-r1 9746  df-rank 9747  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10098  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-hash 14278  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ocomp 17205  df-0g 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-mri 17519  df-acs 17520  df-proset 18235  df-drs 18236  df-poset 18253  df-ipo 18468  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-nzr 20270  df-drng 20295  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-lbs 20663  df-lvec 20691  df-lindf 21334  df-linds 21335  df-dim 32624
This theorem is referenced by:  extdggt0  32674
  Copyright terms: Public domain W3C validator