Theorem lmhmlmod2 19798

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 19795	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Scalarcsca 16562   GrpHom cghm 18349  LModclmod 19628   LMHom clmhm 19785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-lmhm 19788

This theorem is referenced by:  lmhmco  19809  lmhmplusg  19810  lmhmvsca  19811  lmhmf1o  19812  lmhmima  19813  lmhmpreima  19814  lmhmlsp  19815  lmhmkerlss  19817  reslmhm  19818  islmim  19828  lmicrcl  19837  lindfmm  20965  lindsmm  20966  lmhmclm  23685  lmhmlvec2  31012  dimkerim  31018  lmhmlvec  39141  lmhmfgima  39677  lnmepi  39678  lmhmfgsplit  39679  lmhmlnmsplit  39680