Theorem lmhmlmod2 20986

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20983	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 769	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Scalarcsca 17182   GrpHom cghm 19143  LModclmod 20813   LMHom clmhm 20973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-lmhm 20976

This theorem is referenced by:  lmhmco  20997  lmhmplusg  20998  lmhmvsca  20999  lmhmf1o  21000  lmhmima  21001  lmhmpreima  21002  lmhmlsp  21003  lmhmkerlss  21005  reslmhm  21006  islmim  21016  lmicrcl  21025  lmhmlvec  21064  lindfmm  21784  lindsmm  21785  lmhmclm  25045  lmhmqusker  33500  lmhmlvec2  33778  dimkerim  33786  lmhmfgima  43347  lnmepi  43348  lmhmfgsplit  43349  lmhmlnmsplit  43350