Theorem lmhmlmod2 19494

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 19491	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 766	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Scalarcsca 16397   GrpHom cghm 18096  LModclmod 19324   LMHom clmhm 19481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-lmhm 19484

This theorem is referenced by:  lmhmco  19505  lmhmplusg  19506  lmhmvsca  19507  lmhmf1o  19508  lmhmima  19509  lmhmpreima  19510  lmhmlsp  19511  lmhmkerlss  19513  reslmhm  19514  islmim  19524  lmicrcl  19533  lindfmm  20653  lindsmm  20654  lmhmclm  23374  lmhmlvec2  30621  dimkerim  30627  lmhmlvec  38675  lmhmfgima  39169  lnmepi  39170  lmhmfgsplit  39171  lmhmlnmsplit  39172