Theorem lmhmlmod2 21022

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21019	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 770	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Scalarcsca 17217   GrpHom cghm 19181  LModclmod 20849   LMHom clmhm 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-lmhm 21012

This theorem is referenced by:  lmhmco  21033  lmhmplusg  21034  lmhmvsca  21035  lmhmf1o  21036  lmhmima  21037  lmhmpreima  21038  lmhmlsp  21039  lmhmkerlss  21041  reslmhm  21042  islmim  21052  lmicrcl  21061  lmhmlvec  21100  lindfmm  21820  lindsmm  21821  lmhmclm  25067  lmhmqusker  33495  lmhmlvec2  33782  dimkerim  33790  lmhmfgima  43533  lnmepi  43534  lmhmfgsplit  43535  lmhmlnmsplit  43536