Theorem lmhmlmod2 21023

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21020	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 775	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Scalarcsca 17215   GrpHom cghm 19179  LModclmod 20851   LMHom clmhm 21010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-lmhm 21013

This theorem is referenced by:  lmhmco  21034  lmhmplusg  21035  lmhmvsca  21036  lmhmf1o  21037  lmhmima  21038  lmhmpreima  21039  lmhmlsp  21040  lmhmkerlss  21042  reslmhm  21043  islmim  21053  lmicrcl  21062  lmhmlvec  21101  lindfmm  21803  lindsmm  21804  lmhmclm  25073  lmhmqusker  33501  lmhmlvec2  33812  dimkerim  33820  lmhmfgima  43538  lnmepi  43539  lmhmfgsplit  43540  lmhmlnmsplit  43541