Theorem lmhmlmod2 21100

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21097	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 779	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Scalarcsca 17290   GrpHom cghm 19254  LModclmod 20928   LMHom clmhm 21087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-lmhm 21090

This theorem is referenced by:  lmhmco  21111  lmhmplusg  21112  lmhmvsca  21113  lmhmf1o  21114  lmhmima  21115  lmhmpreima  21116  lmhmlsp  21117  lmhmkerlss  21119  reslmhm  21120  islmim  21130  lmicrcl  21139  lmhmlvec  21178  lindfmm  21880  lindsmm  21881  lmhmclm  25150  lmhmqusker  33604  lmhmlvec2  33917  dimkerim  33925  lmhmfgima  43662  lnmepi  43663  lmhmfgsplit  43664  lmhmlnmsplit  43665