Theorem lmhmlmod2 21307

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21304	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 782	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Scalarcsca 17431   GrpHom cghm 19427  LModclmod 21135   LMHom clmhm 21294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-lmhm 21297

This theorem is used by:  lmhmco  21318  lmhmplusg  21319  lmhmvsca  21320  lmhmf1o  21321  lmhmima  21322  lmhmpreima  21323  lmhmlsp  21324  lmhmkerlss  21326  reslmhm  21327  islmim  21337  lmicrcl  21346  lmhmlvec  21385  lindfmm  22133  lindsmm  22134  lmhmclm  25408  lmhmqusker  33968  lmhmlvec2  34251  dimkerim  34259  lmhmfgima  44086  lnmepi  44087  lmhmfgsplit  44088  lmhmlnmsplit  44089