Theorem lmhmsca 19795

Description: A homomorphism of left modules constrains both modules to the same ring of scalars. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmlem.k	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
lmhmlem.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmsca	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐿 = 𝐾)

Proof of Theorem lmhmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
2		lmhmlem.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 19794	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾)))
4	3	simprrd 773	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐿 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Scalarcsca 16560   GrpHom cghm 18347  LModclmod 19627   LMHom clmhm 19784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-lmhm 19787

This theorem is referenced by:  islmhm2  19803  lmhmco  19808  lmhmplusg  19809  lmhmvsca  19810  lmhmf1o  19811  lmhmima  19812  lmhmpreima  19813  reslmhm  19817  reslmhm2  19818  reslmhm2b  19819  lindfmm  20516  lmhmclm  23692  nmoleub2lem3  23720  nmoleub3  23724  lmhmlvec2  31105  lmhmlvec  39452