Theorem kerlmhm 31028

Description: The kernel of a vector space homomorphism is a vector space itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
kerlmhm.1	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
kerlmhm.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ↾s (◡𝐹 “ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
kerlmhm	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝐾 ∈ LVec)

Proof of Theorem kerlmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ { 0 }) = (◡𝐹 “ { 0 })
2		kerlmhm.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑉) = (LSubSp‘𝑉)
4	1, 2, 3	lmhmkerlss 19806	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LSubSp‘𝑉))
5		kerlmhm.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ↾s (◡𝐹 “ { 0 }))
6	5, 3	lsslvec 19862	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LSubSp‘𝑉)) → 𝐾 ∈ LVec)
7	4, 6	sylan2 594	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝐾 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4553  ^◡ccnv 5540   “ cima 5544  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142   ↾_s cress 16467  0_gc0g 16696  LSubSpclss 19686   LMHom clmhm 19774  LVecclvec 19857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-0g 16698  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-sbg 18091  df-subg 18259  df-ghm 18339  df-mgp 19223  df-ur 19235  df-ring 19282  df-lmod 19619  df-lss 19687  df-lmhm 19777  df-lvec 19858

This theorem is referenced by:  dimkerim  31033