MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodfopnelem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodfopnelem1 20653
Description: Lemma 1 for lmodfopne 20655. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodfopne.t Β· = ( Β·sf β€˜π‘Š)
lmodfopne.a + = (+π‘“β€˜π‘Š)
lmodfopne.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodfopne.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodfopne.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lmodfopnelem1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ + = Β· ) β†’ 𝑉 = 𝐾)
Proof of Theorem lmodfopnelem1
StepHypRef Expression
1 lmodfopne.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lmodfopne.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lmodfopne.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
4 lmodfopne.t . . . . 5 Β· = ( Β·sf β€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4lmodscaf 20639 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ Β· :(𝐾 Γ— 𝑉)βŸΆπ‘‰)
65ffnd 6718 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉))
7 lmodfopne.a . . . . 5 + = (+π‘“β€˜π‘Š)
81, 7plusffn 18575 . . . 4 + Fn (𝑉 Γ— 𝑉)
9 fneq1 6640 . . . . . . . . . . 11 ( + = Β· β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ↔ Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉)))
10 fndmu 6656 . . . . . . . . . . . 12 (( Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))
1110ex 412 . . . . . . . . . . 11 ( Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)))
129, 11syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 ( + = Β· β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))))
1312com13 88 . . . . . . . . 9 ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))))
1413impcom 407 . . . . . . . 8 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ ( + = Β· β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)))
151lmodbn0 20626 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
16 xp11 6174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
1715, 15, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
1817simprbda 498 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ 𝑉 = 𝐾)
1918expcom 413 . . . . . . . 8 ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 = 𝐾))
2014, 19syl6 35 . . . . . . 7 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ ( + = Β· β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 = 𝐾)))
2120com23 86 . . . . . 6 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾)))
2221ex 412 . . . . 5 ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))))
2322com23 86 . . . 4 ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))))
248, 23ax-mp 5 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾)))
256, 24mpd 15 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))
2625imp 406 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ + = Β· ) β†’ 𝑉 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ…c0 4322   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  +𝑓cplusf 18563  LModclmod 20615   Β·sf cscaf 20616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-0g 17392  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-lmod 20617  df-scaf 20618
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  20654
  Copyright terms: Public domain W3C validator