Theorem lmod0rng 48145

Description: If the scalar ring of a module is the zero ring, the module is the zero module, i.e. the base set of the module is the singleton consisting of the identity element only. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmod0rng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})

Proof of Theorem lmod0rng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2	1	lmodring 20866	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3		0ringnnzr 20525	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 ↔ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing))
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
6		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
7	4, 5, 6	0ring01eq 20529	. . . . . . 7 ⊢ (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
10	8, 1, 9, 6	lmodvs1 20888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣)
11		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 ↔ 𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
12	11	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 → 𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
13		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
14	13	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
16	8, 1, 9, 5, 15	lmod0vs 20893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (0g‘𝑀))
17	14, 16	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (0g‘𝑀))
18	12, 17	sylan9eq 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑣 = (0g‘𝑀))
19	18	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀))))
20	10, 19	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀)))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀)))
22	21	impl 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀))
23	22	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀))
24	8	lmodbn0 20869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ≠ ∅)
25		eqsn 4829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑀) ≠ ∅ → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})
29	28	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
30	7, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
32	3, 31	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
33	32	com23 86	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
34	2, 33	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
35	34	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  ♯chash 14369  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  LModclmod 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-lmod 20860

This theorem is referenced by: (None)