Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod0rng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0rng 46908
Description: If the scalar ring of a module is the zero ring, the module is the zero module, i.e. the base set of the module is the singleton consisting of the identity element only. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lmod0rng ((𝑀 ∈ LMod ∧ Β¬ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ NzRing) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)})

Proof of Theorem lmod0rng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
21lmodring 20622 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring)
3 0ringnnzr 20414 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring β†’ ((β™―β€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) = 1 ↔ Β¬ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ NzRing))
4 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6 eqid 2730 . . . . . . . 8 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
74, 5, 60ring01eq 20418 . . . . . . 7 (((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) = 1) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
9 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
108, 1, 9, 6lmodvs1 20644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑣)
11 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑣 ↔ 𝑣 = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
1211biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑣 β†’ 𝑣 = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
13 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
1413eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
168, 1, 9, 5, 15lmod0vs 20649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = (0gβ€˜π‘€))
1714, 16sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = (0gβ€˜π‘€))
1812, 17sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑣 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))
1918exp32 419 . . . . . . . . . . . . 13 (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑣 β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))))
2010, 19mpcom 38 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
2221impl 454 . . . . . . . . . 10 ((((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))
2322ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘€)𝑣 = (0gβ€˜π‘€))
248lmodbn0 20625 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘€) β‰  βˆ…)
25 eqsn 4831 . . . . . . . . . . 11 ((Baseβ€˜π‘€) β‰  βˆ… β†’ ((Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)} ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘€)𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ ((Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)} ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘€)𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
2726adantl 480 . . . . . . . . 9 (((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)} ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘€)𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
2823, 27mpbird 256 . . . . . . . 8 (((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)})
2928ex 411 . . . . . . 7 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)}))
307, 29syl 17 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) = 1) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)}))
3130ex 411 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring β†’ ((β™―β€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) = 1 β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)})))
323, 31sylbird 259 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring β†’ (Β¬ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ NzRing β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)})))
3332com23 86 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘€) ∈ Ring β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ NzRing β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)})))
342, 33mpcom 38 . 2 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ NzRing β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)}))
3534imp 405 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ Β¬ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ NzRing) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {(0gβ€˜π‘€)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1c1 11113  β™―chash 14294  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  1rcur 20075  Ringcrg 20127  NzRingcnzr 20403  LModclmod 20614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-nzr 20404  df-lmod 20616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator