Theorem lmod0rng 45466

Description: If the scalar ring of a module is the zero ring, the module is the zero module, i.e. the base set of the module is the singleton consisting of the identity element only. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmod0rng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})

Proof of Theorem lmod0rng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2	1	lmodring 20159	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3		0ringnnzr 20568	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 ↔ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing))
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
6		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
7	4, 5, 6	0ring01eq 20570	. . . . . . 7 ⊢ (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))
8		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
10	8, 1, 9, 6	lmodvs1 20179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣)
11		eqcom 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 ↔ 𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
12	11	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 → 𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
13		oveq1 7302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
14	13	eqcoms 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
15		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
16	8, 1, 9, 5, 15	lmod0vs 20184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (0g‘𝑀))
17	14, 16	sylan9eqr 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (0g‘𝑀))
18	12, 17	sylan9eq 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑣 = (0g‘𝑀))
19	18	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀))))
20	10, 19	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀)))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀)))
22	21	impl 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀))
23	22	ralrimiva 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀))
24	8	lmodbn0 20161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ≠ ∅)
25		eqsn 4765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑀) ≠ ∅ → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
28	23, 27	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})
29	28	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
30	7, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
32	3, 31	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
33	32	com23 86	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
34	2, 33	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
35	34	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∅c0 4259  {csn 4564  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  1c1 10900  ♯chash 14072  Basecbs 16940  Scalarcsca 16993   ·_𝑠 cvsca 16994  0_gc0g 17178  1_rcur 19765  Ringcrg 19811  LModclmod 20151  NzRingcnzr 20556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-oadd 8321  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-dju 9687  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-n0 12262  df-xnn0 12334  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-hash 14073  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-plusg 17003  df-0g 17180  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-lmod 20153  df-nzr 20557

This theorem is referenced by: (None)