Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod0rng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0rng 46156
Description: If the scalar ring of a module is the zero ring, the module is the zero module, i.e. the base set of the module is the singleton consisting of the identity element only. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lmod0rng ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)})

Proof of Theorem lmod0rng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
21lmodring 20330 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3 0ringnnzr 20739 . . . . 5 ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 ↔ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing))
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
6 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
74, 5, 60ring01eq 20741 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
108, 1, 9, 6lmodvs1 20350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑣)
11 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑣𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣))
1211biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑣𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣))
13 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1r‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣))
1413eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣))
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑀) = (0g𝑀)
168, 1, 9, 5, 15lmod0vs 20355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
1714, 16sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
1812, 17sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑣 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑣 = (0g𝑀))
1918exp32 421 . . . . . . . . . . . . 13 (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑣 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g𝑀))))
2010, 19mpcom 38 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g𝑀)))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g𝑀)))
2221impl 456 . . . . . . . . . 10 ((((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g𝑀))
2322ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g𝑀))
248lmodbn0 20332 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ≠ ∅)
25 eqsn 4789 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘𝑀) ≠ ∅ → ((Base‘𝑀) = {(0g𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g𝑀)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → ((Base‘𝑀) = {(0g𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g𝑀)))
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((Base‘𝑀) = {(0g𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g𝑀)))
2823, 27mpbird 256 . . . . . . . 8 (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)})
2928ex 413 . . . . . . 7 ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)}))
307, 29syl 17 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)}))
3130ex 413 . . . . 5 ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)})))
323, 31sylbird 259 . . . 4 ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)})))
3332com23 86 . . 3 ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)})))
342, 33mpcom 38 . 2 (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)}))
3534imp 407 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g𝑀)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  c0 4282  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052  chash 14230  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  NzRingcnzr 20727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-nzr 20728
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator