Theorem lmod0rng 48717

Description: If the scalar ring of a module is the zero ring, the module is the zero module, i.e. the base set of the module is the singleton consisting of the identity element only. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmod0rng	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})

Proof of Theorem lmod0rng

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2	1	lmodring 20854	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3		0ringnnzr 20493	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 ↔ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing))
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
6		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))
7	4, 5, 6	0ring01eq 20497	. . . . . . 7 ⊢ (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
10	8, 1, 9, 6	lmodvs1 20876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣)
11		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 ↔ 𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
12	11	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 → 𝑣 = ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
13		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1r‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
14	13	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
16	8, 1, 9, 5, 15	lmod0vs 20881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (0g‘𝑀))
17	14, 16	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀))) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = (0g‘𝑀))
18	12, 17	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) ∧ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑣 = (0g‘𝑀))
19	18	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = 𝑣 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀))))
20	10, 19	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀)))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀)))
22	21	impl 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑣 = (0g‘𝑀))
23	22	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀))
24	8	lmodbn0 20857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ≠ ∅)
25		eqsn 4773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑀) ≠ ∅ → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)} ↔ ∀𝑣 ∈ (Base‘𝑀)𝑣 = (0g‘𝑀)))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})
29	28	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
30	7, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1) → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → ((♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))) = 1 → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
32	3, 31	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
33	32	com23 86	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})))
34	2, 33	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)}))
35	34	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → (Base‘𝑀) = {(0g‘𝑀)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030  ♯chash 14283  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  NzRingcnzr 20480  LModclmod 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20481  df-lmod 20848

This theorem is referenced by: (None)