Theorem lss1 21059

Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss1	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lss1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
6		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9		ssidd 3960	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ⊆ 𝑉)
10	3	lmodbn0 20992	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ≠ ∅)
11		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15	3, 12, 13, 14	lmodvscl 20999	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
16	15	3adant3r3 1203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
17		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
19	3, 18	lmodvacl 20996	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
20	11, 16, 17, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
21	1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 20	islssd 21056	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-lmod 20983  df-lss 21053

This theorem is referenced by:  lssuni  21060  islss3  21080  lssmre  21087  lspf  21095  lspval  21096  lmhmrnlss  21171  lidl1ALT  21357  isphld  21804  ocv1  21829  aspval  22022  islshpcv  39827  dochexmidlem8  42241  hdmaprnlem4N  42627  lnmfg  43809