MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lss1 19975
Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)

Proof of Theorem lss1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2738 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5 eqidd 2738 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
6 eqidd 2738 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
87a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9 ssidd 3924 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑉)
103lmodbn0 19909 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ≠ ∅)
11 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12 eqid 2737 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
153, 12, 13, 14lmodvscl 19916 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
16153adant3r3 1186 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
17 simpr3 1198 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
18 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
193, 18lmodvacl 19913 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉𝑏𝑉) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
2011, 16, 17, 19syl3anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
211, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 20islssd 19972 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-lmod 19901  df-lss 19969
This theorem is referenced by:  lssuni  19976  islss3  19996  lssmre  20003  lspf  20011  lspval  20012  lmhmrnlss  20087  lidl1  20258  isphld  20616  ocv1  20641  aspval  20832  islshpcv  36804  dochexmidlem8  39218  hdmaprnlem4N  39604  lnmfg  40610
  Copyright terms: Public domain W3C validator