Theorem lss1 20871

Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss1	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lss1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
6		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9		ssidd 3953	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ⊆ 𝑉)
10	3	lmodbn0 20804	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ≠ ∅)
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15	3, 12, 13, 14	lmodvscl 20811	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
16	15	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
17		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
19	3, 18	lmodvacl 20808	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
20	11, 16, 17, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
21	1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 20	islssd 20868	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-lmod 20795  df-lss 20865

This theorem is referenced by:  lssuni  20872  islss3  20892  lssmre  20899  lspf  20907  lspval  20908  lmhmrnlss  20984  lidl1ALT  21168  isphld  21591  ocv1  21616  aspval  21810  islshpcv  39100  dochexmidlem8  41514  hdmaprnlem4N  41900  lnmfg  43123