Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lss1 19711
 Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)

Proof of Theorem lss1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2799 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2799 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5 eqidd 2799 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
6 eqidd 2799 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
87a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9 ssidd 3938 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑉)
103lmodbn0 19645 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ≠ ∅)
11 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12 eqid 2798 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13 eqid 2798 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
153, 12, 13, 14lmodvscl 19652 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
16153adant3r3 1181 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
17 simpr3 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
18 eqid 2798 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
193, 18lmodvacl 19649 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉𝑏𝑉) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
2011, 16, 17, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
211, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 20islssd 19708 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568  LModclmod 19635  LSubSpclss 19704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-lmod 19637  df-lss 19705 This theorem is referenced by:  lssuni  19712  islss3  19732  lssmre  19739  lspf  19747  lspval  19748  lmhmrnlss  19823  lidl1  19994  isphld  20352  ocv1  20377  aspval  20568  islshpcv  36389  dochexmidlem8  38803  hdmaprnlem4N  39189  lnmfg  40090
 Copyright terms: Public domain W3C validator