MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lss1 19149
Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)

Proof of Theorem lss1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2772 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2772 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5 eqidd 2772 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
6 eqidd 2772 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
87a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9 ssid 3773 . . 3 𝑉𝑉
109a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑉)
113lmodbn0 19083 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ≠ ∅)
12 simpl 468 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
13 eqid 2771 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2771 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
15 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
163, 13, 14, 15lmodvscl 19090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
17163adant3r3 1199 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
18 simpr3 1237 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
19 eqid 2771 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
203, 19lmodvacl 19087 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉𝑏𝑉) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
2112, 17, 18, 20syl3anc 1476 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
221, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 21islssd 19146 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-lmod 19075  df-lss 19143
This theorem is referenced by:  lssuni  19150  islss3  19172  lssmre  19179  lspf  19187  lspval  19188  lmhmrnlss  19263  lidl1  19435  aspval  19543  isphld  20216  ocv1  20240  islshpcv  34860  dochexmidlem8  37275  hdmaprnlem4N  37661  lnmfg  38176
  Copyright terms: Public domain W3C validator