Theorem lssn0 21221

Description: A subspace is not empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssn0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssn0	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem lssn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssn0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 21215	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  LSubSpclss 21212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-lss 21213

This theorem is used by:  00lss  21222  lss0cl  21228  lssne0  21232  lsssubg  21238  lbsextlem2  21443  minveclem1  25751