Theorem lssn0 20994

Description: A subspace is not empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssn0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssn0	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem lssn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssn0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20988	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp2bi 1158	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  LSubSpclss 20985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-ov 7393  df-lss 20986

This theorem is referenced by:  00lss  20995  lss0cl  21001  lssne0  21005  lsssubg  21011  lbsextlem2  21216  minveclem1  25473