Theorem lssn0 20861

Description: A subspace is not empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssn0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssn0	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem lssn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssn0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20855	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  LSubSpclss 20852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-lss 20853

This theorem is referenced by:  00lss  20862  lss0cl  20868  lssne0  20872  lsssubg  20878  lbsextlem2  21084  minveclem1  25340