Theorem lssn0 19147

Description: A subspace is not empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssn0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssn0	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem lssn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2771	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2771	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssn0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 19141	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp2bi 1140	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  ‘cfv 6029  (class class class)co 6792  Basecbs 16060  +_gcplusg 16145  Scalarcsca 16148   ·_𝑠 cvsca 16149  LSubSpclss 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fv 6037  df-ov 6795  df-lss 19139

This theorem is referenced by:  00lss  19148  lss0cl  19153  lssne0  19157  lsssubg  19166  lbsextlem2  19370  minveclem1  23410