Theorem lssn0 20891

Description: A subspace is not empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssn0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssn0	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem lssn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssn0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20885	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  LSubSpclss 20882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-lss 20883

This theorem is referenced by:  00lss  20892  lss0cl  20898  lssne0  20902  lsssubg  20908  lbsextlem2  21114  minveclem1  25380