Theorem islss 20955

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssset.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssset.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6958	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2		lssset.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2862	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑊 ∈ V)
4		lssset.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		fvprc 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
7	6	sseq2d 4041	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑈 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ ∅))
8	7	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9		ss0 4425	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
10	8, 9	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
11	10	necon1ad 2963	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13	12	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14		lssset.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lssset.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
16		lssset.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lssset.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	14, 15, 4, 16, 17, 2	lssset 20954	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
19	18	eleq2d 2830	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20		eldifsn 4811	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
21	4	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	elpw2 5352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉)
23	22	anbi1i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
24	20, 23	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
25	24	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
26		eleq2 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27	26	raleqbi1dv 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
28	27	raleqbi1dv 3346	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
29	28	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
30	29	elrab 3708	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
31		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32	25, 30, 31	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
33	19, 32	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
34	3, 13, 33	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LSubSpclss 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-lss 20953

This theorem is referenced by:  islssd  20956  lssss  20957  lssn0  20961  lsscl  20963  islss4  20983  lsspropd  21039  islidl  21248  ocvlss  21713  lkrlss  39051  lclkr  41490  lclkrs  41496  lcfr  41542