MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islss 20545
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lssset.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lssset.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lssset.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lssset.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lssset.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘Ž,𝑏,π‘₯,π‘Š   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏)   + (π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   Β· (π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem islss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6930 . . 3 (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘Š ∈ V)
2 lssset.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2eleq2s 2852 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘Š ∈ V)
4 lssset.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 fvprc 6884 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆ…)
64, 5eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑉 = βˆ…)
76sseq2d 4015 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† βˆ…))
87biimpcd 248 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ π‘ˆ βŠ† βˆ…))
9 ss0 4399 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† βˆ… β†’ π‘ˆ = βˆ…)
108, 9syl6 35 . . . . 5 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ π‘ˆ = βˆ…))
1110necon1ad 2958 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† 𝑉 β†’ (π‘ˆ β‰  βˆ… β†’ π‘Š ∈ V))
1211imp 408 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ V)
13123adant3 1133 . 2 ((π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ V)
14 lssset.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 lssset.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
16 lssset.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
17 lssset.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 20544 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠})
1918eleq2d 2820 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ π‘ˆ ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20 eldifsn 4791 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…))
214fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
2221elpw2 5346 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2322anbi1i 625 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2420, 23bitri 275 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2524anbi1i 625 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ) ↔ ((π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
26 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
2726raleqbi1dv 3334 . . . . . . 7 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
2827raleqbi1dv 3334 . . . . . 6 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
2928ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
3029elrab 3684 . . . 4 (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (π‘ˆ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
31 df-3an 1090 . . . 4 ((π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ) ↔ ((π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
3225, 30, 313bitr4i 303 . . 3 (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
3319, 32bitrdi 287 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
343, 13, 33pm5.21nii 380 1 (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  islssd  20546  lssss  20547  lssn0  20551  lsscl  20553  islss4  20573  lsspropd  20628  islidl  20834  ocvlss  21225  lkrlss  37965  lclkr  40404  lclkrs  40410  lcfr  40456
  Copyright terms: Public domain W3C validator