MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss 20932
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p + = (+g𝑊)
lssset.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssset.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6944 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2 lssset.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2eleq2s 2859 . 2 (𝑈𝑆𝑊 ∈ V)
4 lssset.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 fvprc 6898 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
64, 5eqtrid 2789 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
76sseq2d 4016 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (𝑈𝑉𝑈 ⊆ ∅))
87biimpcd 249 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9 ss0 4402 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
108, 9syl6 35 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
1110necon1ad 2957 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
1211imp 406 . . 3 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13123adant3 1133 . 2 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14 lssset.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lssset.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
16 lssset.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
17 lssset.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 20931 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
1918eleq2d 2827 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20 eldifsn 4786 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅))
214fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
2221elpw2 5334 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
2322anbi1i 624 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2420, 23bitri 275 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2524anbi1i 624 . . . 4 ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
26 eleq2 2830 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2726raleqbi1dv 3338 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2827raleqbi1dv 3338 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2928ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3029elrab 3692 . . . 4 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
31 df-3an 1089 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3225, 30, 313bitr4i 303 . . 3 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3319, 32bitrdi 287 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
343, 13, 33pm5.21nii 378 1 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  LSubSpclss 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lss 20930
This theorem is referenced by:  islssd  20933  lssss  20934  lssn0  20938  lsscl  20940  islss4  20960  lsspropd  21016  islidl  21225  ocvlss  21690  lkrlss  39096  lclkr  41535  lclkrs  41541  lcfr  41587
  Copyright terms: Public domain W3C validator