Theorem islss 21124

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssset.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssset.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎, 𝑏)   + (𝑥, 𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑥, 𝑎, 𝑏)   · (𝑥, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑥, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem islss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6917	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2		lssset.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2880	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑊 ∈ V)
4		lssset.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		fvprc 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
7	6	sseq2d 3966	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑈 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ ∅))
8	7	biimpcd 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9		ss0 4355	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
10	8, 9	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
11	10	necon1ad 2974	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
12	11	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13	12	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14		lssset.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lssset.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
16		lssset.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lssset.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	14, 15, 4, 16, 17, 2	lssset 21123	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
19	18	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20		eldifsn 4751	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
21	4	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	elpw2 5303	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉)
23	22	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
24	20, 23	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
25	24	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
26		eleq2 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27	26	raleqbi1dv 3331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
28	27	raleqbi1dv 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
29	28	ralbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
30	29	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
31		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32	25, 30, 31	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
33	19, 32	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
34	3, 13, 33	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  LSubSpclss 21121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-lss 21122

This theorem is used by:  islssd  21125  lssss  21126  lssn0  21130  lsscl  21132  islss4  21152  lsspropd  21207  islidl  21409  ocvlss  21891  lkrlss  39976  lclkr  42414  lclkrs  42420  lcfr  42466