Theorem islss 20988

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssset.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssset.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6896	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2		lssset.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2879	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑊 ∈ V)
4		lssset.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		fvprc 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
7	6	sseq2d 3966	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑈 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ ∅))
8	7	biimpcd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9		ss0 4353	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
10	8, 9	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
11	10	necon1ad 2973	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
12	11	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13	12	3adant3 1144	. 2 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14		lssset.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lssset.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
16		lssset.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lssset.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	14, 15, 4, 16, 17, 2	lssset 20987	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
19	18	eleq2d 2847	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20		eldifsn 4743	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
21	4	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	elpw2 5287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉)
23	22	anbi1i 633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
24	20, 23	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
25	24	anbi1i 633	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
26		eleq2 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27	26	raleqbi1dv 3329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
28	27	raleqbi1dv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
29	28	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
30	29	elrab 3649	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
31		df-3an 1099	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32	25, 30, 31	3bitr4i 305	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
33	19, 32	bitrdi 289	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
34	3, 13, 33	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  LSubSpclss 20985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-ov 7393  df-lss 20986

This theorem is referenced by:  islssd  20989  lssss  20990  lssn0  20994  lsscl  20996  islss4  21016  lsspropd  21071  islidl  21272  ocvlss  21711  lkrlss  39679  lclkr  42117  lclkrs  42123  lcfr  42169