MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss 20911
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p + = (+g𝑊)
lssset.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssset.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6939 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2 lssset.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2eleq2s 2844 . 2 (𝑈𝑆𝑊 ∈ V)
4 lssset.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 fvprc 6893 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
64, 5eqtrid 2778 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
76sseq2d 4012 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (𝑈𝑉𝑈 ⊆ ∅))
87biimpcd 248 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9 ss0 4403 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
108, 9syl6 35 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
1110necon1ad 2947 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
1211imp 405 . . 3 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13123adant3 1129 . 2 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14 lssset.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lssset.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
16 lssset.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
17 lssset.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 20910 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
1918eleq2d 2812 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20 eldifsn 4795 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅))
214fvexi 6915 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
2221elpw2 5352 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
2322anbi1i 622 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2420, 23bitri 274 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2524anbi1i 622 . . . 4 ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
26 eleq2 2815 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2726raleqbi1dv 3323 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2827raleqbi1dv 3323 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2928ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3029elrab 3681 . . . 4 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
31 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3225, 30, 313bitr4i 302 . . 3 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3319, 32bitrdi 286 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
343, 13, 33pm5.21nii 377 1 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  LSubSpclss 20908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-ov 7427  df-lss 20909
This theorem is referenced by:  islssd  20912  lssss  20913  lssn0  20917  lsscl  20919  islss4  20939  lsspropd  20995  islidl  21204  ocvlss  21668  lkrlss  38793  lclkr  41232  lclkrs  41238  lcfr  41284
  Copyright terms: Public domain W3C validator