Theorem islss 21036

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssset.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssset.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6918	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2		lssset.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2881	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑊 ∈ V)
4		lssset.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		fvprc 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
7	6	sseq2d 3970	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑈 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ ∅))
8	7	biimpcd 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9		ss0 4360	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
10	8, 9	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
11	10	necon1ad 2975	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
12	11	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13	12	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14		lssset.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lssset.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
16		lssset.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lssset.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	14, 15, 4, 16, 17, 2	lssset 21035	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
19	18	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20		eldifsn 4754	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
21	4	fvexi 6897	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	elpw2 5306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉)
23	22	anbi1i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
24	20, 23	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
25	24	anbi1i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
26		eleq2 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27	26	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
28	27	raleqbi1dv 3333	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
29	28	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
30	29	elrab 3651	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
31		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32	25, 30, 31	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
33	19, 32	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
34	3, 13, 33	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LSubSpclss 21033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-lss 21034

This theorem is referenced by:  islssd  21037  lssss  21038  lssn0  21042  lsscl  21044  islss4  21064  lsspropd  21119  islidl  21321  ocvlss  21803  lkrlss  39850  lclkr  42288  lclkrs  42294  lcfr  42340