MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lss 19706
Description: The empty structure has no subspaces (for use with fvco4i 6750). (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lss ∅ = (LSubSp‘∅)

Proof of Theorem 00lss
StepHypRef Expression
1 noel 4279 . . 3 ¬ 𝑎 ∈ ∅
2 base0 16532 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (LSubSp‘∅) = (LSubSp‘∅)
42, 3lssss 19701 . . . . 5 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ⊆ ∅)
5 ss0 4334 . . . . 5 (𝑎 ⊆ ∅ → 𝑎 = ∅)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 = ∅)
73lssn0 19705 . . . . 5 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ≠ ∅)
87neneqd 3019 . . . 4 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → ¬ 𝑎 = ∅)
96, 8pm2.65i 197 . . 3 ¬ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅)
101, 92false 379 . 2 (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅))
1110eqriv 2821 1 ∅ = (LSubSp‘∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  c0 4275  cfv 6343  LSubSpclss 19696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fv 6351  df-ov 7148  df-slot 16483  df-base 16485  df-lss 19697
This theorem is referenced by:  00lsp  19746  lidlval  19957
  Copyright terms: Public domain W3C validator