Theorem 00lss 19305

Description: The empty structure has no subspaces (for use with fvco4i 6527). (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lss	⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)

Proof of Theorem 00lss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4150	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
2		base0 16282	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘∅) = (LSubSp‘∅)
4	2, 3	lssss 19300	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ⊆ ∅)
5		ss0 4201	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ⊆ ∅ → 𝑎 = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 = ∅)
7	3	lssn0 19304	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ≠ ∅)
8	7	neneqd 3004	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → ¬ 𝑎 = ∅)
9	6, 8	pm2.65i 186	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅)
10	1, 9	2false 367	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅))
11	10	eqriv 2822	1 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  ‘cfv 6127  LSubSpclss 19295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-ov 6913  df-slot 16233  df-base 16235  df-lss 19296

This theorem is referenced by:  00lsp  19347  lidlval  19560