Theorem 00lss 20880

Description: The empty structure has no subspaces (for use with fvco4i 6929). (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lss	⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)

Proof of Theorem 00lss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4287	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
2		base0 17131	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘∅) = (LSubSp‘∅)
4	2, 3	lssss 20875	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ⊆ ∅)
5		ss0 4351	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ⊆ ∅ → 𝑎 = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 = ∅)
7	3	lssn0 20879	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ≠ ∅)
8	7	neneqd 2933	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → ¬ 𝑎 = ∅)
9	6, 8	pm2.65i 194	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅)
10	1, 9	2false 375	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅))
11	10	eqriv 2728	1 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  ‘cfv 6487  LSubSpclss 20870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-1cn 11070  ax-addcl 11072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12132  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-lss 20871

This theorem is referenced by:  00lsp  20920  lidlval  21153