Theorem 00lss 20118

Description: The empty structure has no subspaces (for use with fvco4i 6851). (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lss	⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)

Proof of Theorem 00lss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4261	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
2		base0 16845	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘∅) = (LSubSp‘∅)
4	2, 3	lssss 20113	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ⊆ ∅)
5		ss0 4329	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ⊆ ∅ → 𝑎 = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 = ∅)
7	3	lssn0 20117	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ≠ ∅)
8	7	neneqd 2947	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → ¬ 𝑎 = ∅)
9	6, 8	pm2.65i 193	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅)
10	1, 9	2false 375	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅))
11	10	eqriv 2735	1 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-lss 20109

This theorem is referenced by:  00lsp  20158  lidlval  20375