Theorem lssuni 20852

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lssuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3442	. . . 4 ⊢ (𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
2		lssss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lssss.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20849	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	1, 4	mprgbir 3052	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉}
6	5	unieqi 4886	. 2 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉}
7		lssuni.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8	2, 3	lss1 20851	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
9		unimax 4911	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
10	7, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
11	6, 10	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-lmod 20775  df-lss 20845

This theorem is referenced by:  mapdunirnN  41651