Theorem lssuni 20835

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lssuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3452	. . . 4 ⊢ (𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
2		lssss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lssss.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	1, 4	mprgbir 3057	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉}
6	5	unieqi 4921	. 2 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉}
7		lssuni.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8	2, 3	lss1 20834	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
9		unimax 4948	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
10	7, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
11	6, 10	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-lmod 20757  df-lss 20828

This theorem is referenced by:  mapdunirnN  41253