Theorem lss0cl 20909

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lssn0 20902	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)
3		n0 4333	. . . 4 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
6		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8	7, 1	lssel 20899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
9	8	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
10		lss0cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
12	7, 10, 11	lmodsubid 20884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
13	6, 9, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) = 0 )
14	11, 1	lssvsubcl 20906	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
15	14	anabsan2 674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
16	15	3impa 1109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(-g‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑈)
17	13, 16	eqeltrrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝑈)
18	17	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
19	18	exlimdv 1933	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → 0 ∈ 𝑈))
20	5, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∅c0 4313  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  -_gcsg 18923  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894

This theorem is referenced by:  lss0ss  20911  lssvneln0  20914  lssssr  20916  lssvscl  20917  lssintcl  20926  lssvs0or  21076  lspsolvlem  21108  lidl0cl  21186  frlmgsum  21737  frlmsslsp  21761  0ellsp  33389  lssats  39035  dia2dimlem7  41094  dochfl1  41500  lcfr  41609  mapdval2N  41654  mapdrvallem2  41669  mapdpglem6  41702  mapdpglem12  41707