Theorem lsssubg 20848

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20827	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
5	2	lssn0 20831	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)
6	5	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8	7, 2	lssvacl 20834	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	anassrs 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
12	2, 11	lssvnegcl 20847	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13	12	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
14	10, 13	jca 510	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
15	14	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16		lmodgrp 20757	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
18	1, 7, 11	issubg2 19103	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
20	4, 6, 15, 19	mpbir3and 1339	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  inv_gcminusg 18898  SubGrpcsubg 19082  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823

This theorem is referenced by:  lsssssubg  20849  islss3  20850  islss4  20853  lspsnsubg  20871  lmhmima  20939  lmhmpreima  20940  reslmhm  20944  reslmhm2  20945  reslmhm2b  20946  lsmcl  20975  lsmelval2  20977  phssip  21597  frlm0  21695  frlmsubgval  21706  frlmgsum  21713  frlmsslsp  21737  lssnlm  24638  cphsscph  25199  cmscsscms  25321  cssbn  25323  eqgvscpbl  33086  qusvscpbl  33087  quslmod  33094  quslmhm  33095  ply1degltdimlem  33353  lindsunlem  33355  lbsdiflsp0  33357  dimkerim  33358  qusdimsum  33359  islshpat  38521  lsatcv1  38552  dia2dimlem13  40581  dihvalcqat  40744  dihmeetlem16N  40827  dihmeetlem19N  40830  dochsat  40888  dihjat1lem  40933  dihjat1  40934  dvh3dimatN  40944  dvh2dimatN  40945  dochkrsm  40963  dochexmid  40973  mapdh6dN  41244  hdmap1l6d  41318  pwssplit4  42544  gsumlsscl  47525