Theorem lsssubg 20978

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20957	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
5	2	lssn0 20961	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8	7, 2	lssvacl 20964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
12	2, 11	lssvnegcl 20977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13	12	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
14	10, 13	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
15	14	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16		lmodgrp 20887	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
18	1, 7, 11	issubg2 19181	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
20	4, 6, 15, 19	mpbir3and 1342	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953

This theorem is referenced by:  lsssssubg  20979  islss3  20980  islss4  20983  lspsnsubg  21001  lmhmima  21069  lmhmpreima  21070  reslmhm  21074  reslmhm2  21075  reslmhm2b  21076  lsmcl  21105  lsmelval2  21107  phssip  21699  frlm0  21797  frlmsubgval  21808  frlmgsum  21815  frlmsslsp  21839  lssnlm  24743  cphsscph  25304  cmscsscms  25426  cssbn  25428  eqgvscpbl  33343  qusvscpbl  33344  quslmod  33351  quslmhm  33352  ply1degltdimlem  33635  lindsunlem  33637  lbsdiflsp0  33639  dimkerim  33640  qusdimsum  33641  islshpat  38973  lsatcv1  39004  dia2dimlem13  41033  dihvalcqat  41196  dihmeetlem16N  41279  dihmeetlem19N  41282  dochsat  41340  dihjat1lem  41385  dihjat1  41386  dvh3dimatN  41396  dvh2dimatN  41397  dochkrsm  41415  dochexmid  41425  mapdh6dN  41696  hdmap1l6d  41770  pwssplit4  43046  gsumlsscl  48108