Theorem lsssubg 19850

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 19829	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
5	2	lssn0 19833	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)
6	5	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8	7, 2	lssvacl 19847	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimiva 3096	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
12	2, 11	lssvnegcl 19849	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13	12	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
14	10, 13	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
15	14	ralrimiva 3096	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16		lmodgrp 19762	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
18	1, 7, 11	issubg2 18414	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
20	4, 6, 15, 19	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172  Basecbs 16588  +_gcplusg 16670  Grpcgrp 18221  inv_gcminusg 18222  SubGrpcsubg 18393  LModclmod 19755  LSubSpclss 19824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-0g 16820  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-subg 18396  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-ring 19420  df-lmod 19757  df-lss 19825

This theorem is referenced by:  lsssssubg  19851  islss3  19852  islss4  19855  lspsnsubg  19873  lmhmima  19940  lmhmpreima  19941  reslmhm  19945  reslmhm2  19946  reslmhm2b  19947  lsmcl  19976  lsmelval2  19978  phssip  20476  frlm0  20572  frlmsubgval  20583  frlmgsum  20590  frlmsslsp  20614  lssnlm  23456  cphsscph  24005  cmscsscms  24127  cssbn  24129  eqgvscpbl  31124  qusvscpbl  31125  quslmod  31128  quslmhm  31129  lindsunlem  31279  lbsdiflsp0  31281  dimkerim  31282  qusdimsum  31283  islshpat  36676  lsatcv1  36707  dia2dimlem13  38735  dihvalcqat  38898  dihmeetlem16N  38981  dihmeetlem19N  38984  dochsat  39042  dihjat1lem  39087  dihjat1  39088  dvh3dimatN  39098  dvh2dimatN  39099  dochkrsm  39117  dochexmid  39127  mapdh6dN  39398  hdmap1l6d  39472  pwssplit4  40508  gsumlsscl  45282