Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssubg 19723
 Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssubg ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lsssubg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19702 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
43adantl 484 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
52lssn0 19706 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ≠ ∅)
65adantl 484 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7 eqid 2821 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
87, 2lssvacl 19720 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
98anassrs 470 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
109ralrimiva 3182 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11 eqid 2821 . . . . . 6 (invg𝑊) = (invg𝑊)
122, 11lssvnegcl 19722 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑥𝑈) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13123expa 1114 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
1410, 13jca 514 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
1514ralrimiva 3182 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16 lmodgrp 19635 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1716adantr 483 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
181, 7, 11issubg2 18288 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
204, 6, 15, 19mpbir3and 1338 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098  SubGrpcsubg 18267  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698 This theorem is referenced by:  lsssssubg  19724  islss3  19725  islss4  19728  lspsnsubg  19746  lmhmima  19813  lmhmpreima  19814  reslmhm  19818  reslmhm2  19819  reslmhm2b  19820  lsmcl  19849  lsmelval2  19851  phssip  20796  frlm0  20892  frlmsubgval  20903  frlmgsum  20910  frlmsslsp  20934  lssnlm  23304  cphsscph  23848  cmscsscms  23970  cssbn  23972  eqgvscpbl  30914  qusvscpbl  30915  quslmod  30918  quslmhm  30919  lindsunlem  31015  lbsdiflsp0  31017  dimkerim  31018  qusdimsum  31019  islshpat  36147  lsatcv1  36178  dia2dimlem13  38206  dihvalcqat  38369  dihmeetlem16N  38452  dihmeetlem19N  38455  dochsat  38513  dihjat1lem  38558  dihjat1  38559  dvh3dimatN  38569  dvh2dimatN  38570  dochkrsm  38588  dochexmid  38598  mapdh6dN  38869  hdmap1l6d  38943  pwssplit4  39682  gsumlsscl  44425
 Copyright terms: Public domain W3C validator