Theorem lsssubg 21232

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 21211	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
5	2	lssn0 21215	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ≠ ∅)
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8	7, 2	lssvacl 21218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
12	2, 11	lssvnegcl 21231	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13	12	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
14	10, 13	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
15	14	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16		lmodgrp 21142	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
18	1, 7, 11	issubg2 19352	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
20	4, 6, 15, 19	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3913  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  SubGrpcsubg 19330  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207

This theorem is used by:  lsssssubg  21233  islss3  21234  islss4  21237  lspsnsubg  21255  lmhmima  21322  lmhmpreima  21323  reslmhm  21327  reslmhm2  21328  reslmhm2b  21329  lsmcl  21358  lsmelval2  21360  phssip  21964  frlm0  22060  frlmsubgval  22071  frlmgsum  22078  frlmsslsp  22102  lssnlm  25020  cphsscph  25572  cmscsscms  25694  cssbn  25696  eqgvscpbl  33911  qusvscpbl  33912  quslmod  33919  quslmhm  33920  ply1degltdimlem  34254  lindsunlem  34256  lbsdiflsp0  34258  dimkerim  34259  qusdimsum  34260  islshpat  40075  lsatcv1  40106  dia2dimlem13  42134  dihvalcqat  42297  dihmeetlem16N  42380  dihmeetlem19N  42383  dochsat  42441  dihjat1lem  42486  dihjat1  42487  dvh3dimatN  42497  dvh2dimatN  42498  dochkrsm  42516  dochexmid  42526  mapdh6dN  42797  hdmap1l6d  42871  pwssplit4  44091  gsumlsscl  49492