MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextlem2 20995
Description: Lemma for lbsext 20999. Since 𝐴 is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union 𝑇 of the spans of each individual element of 𝐴 is a subspace, and it contains all of 𝐴 (except for our target vector 𝑥- we are trying to make 𝑥 a linear combination of all the other vectors in some set from 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c (𝜑𝐶𝑉)
lbsext.x (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a (𝜑𝐴𝑆)
lbsext.z (𝜑𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r (𝜑 → [] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2 (𝜑 → (𝑇𝑃 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 lbsext.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
5 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝑊))
6 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lbsext.p . . . 4 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
87a1i 11 . . 3 (𝜑𝑃 = (LSubSp‘𝑊))
9 lbsext.t . . . 4 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
10 lbsext.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 20939 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lbsext.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑆)
14 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
1514ssrab3 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
1613, 15sstrdi 3986 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
1716sselda 3974 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐴) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑉)
1817elpwid 4603 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐴) → 𝑢𝑉)
1918ssdifssd 4134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
20 lbsext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
213, 20lspssv 20815 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
2212, 19, 21syl2an2r 682 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
2322ralrimiva 3138 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
24 iunss 5038 . . . . 5 ( 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
2523, 24sylibr 233 . . . 4 (𝜑 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
269, 25eqsstrid 4022 . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
279a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
28 lbsext.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
293, 7, 20lspcl 20808 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
3012, 19, 29syl2an2r 682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
317lssn0 20772 . . . . . . . 8 ((𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃 → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3332ralrimiva 3138 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
34 r19.2z 4486 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅) → ∃𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3528, 33, 34syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
36 iunn0 5060 . . . . 5 (∃𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅ ↔ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3735, 36sylib 217 . . . 4 (𝜑 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3827, 37eqnetrd 3000 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
399eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑇𝑣 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
40 eliun 4991 . . . . . . . . 9 (𝑣 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
41 difeq1 4107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∖ {𝑥}) = (𝑚 ∖ {𝑥}))
4241fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑚 → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
4342eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑚 → (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥}))))
4443cbvrexvw 3227 . . . . . . . . 9 (∃𝑢𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
4539, 40, 443bitri 297 . . . . . . . 8 (𝑣𝑇 ↔ ∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
469eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑇𝑤 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
47 eliun 4991 . . . . . . . . 9 (𝑤 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
48 difeq1 4107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑛 → (𝑢 ∖ {𝑥}) = (𝑛 ∖ {𝑥}))
4948fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑛 → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
5049eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑛 → (𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
5150cbvrexvw 3227 . . . . . . . . 9 (∃𝑢𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
5246, 47, 513bitri 297 . . . . . . . 8 (𝑤𝑇 ↔ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
5345, 52anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝑣𝑇𝑤𝑇) ↔ (∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
54 reeanv 3218 . . . . . . 7 (∃𝑚𝐴𝑛𝐴 (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))) ↔ (∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
5553, 54bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑣𝑇𝑤𝑇) ↔ ∃𝑚𝐴𝑛𝐴 (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
56 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝜑)
57 lbsext.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → [] Or 𝐴)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → [] Or 𝐴)
59 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝐴𝑛𝐴))
60 sorpssun 7713 . . . . . . . . . . 11 (( [] Or 𝐴 ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴)) → (𝑚𝑛) ∈ 𝐴)
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝑛) ∈ 𝐴)
6256, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
63 elssuni 4931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑛) ∈ 𝐴 → (𝑚𝑛) ⊆ 𝐴)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝑛) ⊆ 𝐴)
65 sspwuni 5093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 𝐴𝑉)
6616, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 𝐴𝑉)
6756, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝐴𝑉)
6864, 67sstrd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝑛) ⊆ 𝑉)
6968ssdifssd 4134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
703, 7, 20lspcl 20808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
7162, 69, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
72 simp1r 1195 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73 ssun1 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 ⊆ (𝑚𝑛)
74 ssdif 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ⊆ (𝑚𝑛) → (𝑚 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
763, 20lspss 20816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑚 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
7762, 69, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
78 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
7977, 78sseldd 3975 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑣 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
80 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 ⊆ (𝑚𝑛)
81 ssdif 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ⊆ (𝑚𝑛) → (𝑛 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
8280, 81mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑛 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
833, 20lspss 20816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑛 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
8462, 69, 82, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
85 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
8684, 85sseldd 3975 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
87 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
88 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
89 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
90 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
9187, 88, 89, 90, 7lsscl 20774 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
9271, 72, 79, 86, 91syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
93 difeq1 4107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (𝑚𝑛) → (𝑢 ∖ {𝑥}) = ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
9493fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝑚𝑛) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
9594eliuni 4993 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑛) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
9661, 92, 95syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
9796, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇)
98973expia 1118 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴)) → ((𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))
9998rexlimdvva 3203 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑚𝐴𝑛𝐴 (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))
10055, 99biimtrid 241 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑣𝑇𝑤𝑇) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))
101100exp4b 430 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣𝑇 → (𝑤𝑇 → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))))
1021013imp2 1346 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣𝑇𝑤𝑇)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇)
1031, 2, 4, 5, 6, 8, 26, 38, 102islssd 20767 . 2 (𝜑𝑇𝑃)
104 eldifi 4118 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) → 𝑦 𝐴)
105104adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑦 𝐴)
106 eldifn 4119 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})
107106ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})
108 eldif 3950 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑢 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝑢 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥}))
1093, 20lspssid 20817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
11012, 19, 109syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
111110adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
112111sseld 3973 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑢 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
113108, 112biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → ((𝑦𝑢 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
114107, 113mpan2d 691 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
115114reximdva 3160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → (∃𝑢𝐴 𝑦𝑢 → ∃𝑢𝐴 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
116 eluni2 4903 . . . . . . 7 (𝑦 𝐴 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑦𝑢)
117 eliun 4991 . . . . . . 7 (𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
118115, 116, 1173imtr4g 296 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝑦 𝐴𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
119105, 118mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
120119ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) → 𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
121120ssrdv 3980 . . 3 (𝜑 → ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
122121, 9sseqtrrdi 4025 . 2 (𝜑 → ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
123103, 122jca 511 1 (𝜑 → (𝑇𝑃 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  {crab 3424  cdif 3937  cun 3938  wss 3940  c0 4314  𝒫 cpw 4594  {csn 4620   cuni 4899   ciun 4987   Or wor 5577  cfv 6533  (class class class)co 7401   [] crpss 7705  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LSpanclspn 20803  LBasisclbs 20907  LVecclvec 20935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-rpss 7706  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936
This theorem is referenced by:  lbsextlem3  20996
  Copyright terms: Public domain W3C validator