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Theorem lbsextlem2 21010
Description: Lemma for lbsext 21014. Since 𝐴 is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union 𝑇 of the spans of each individual element of 𝐴 is a subspace, and it contains all of βˆͺ 𝐴 (except for our target vector π‘₯- we are trying to make π‘₯ a linear combination of all the other vectors in some set from 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbsext.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsext.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsext.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lbsext.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
lbsext.x (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lbsext.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
lbsext.z (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
lbsext.r (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑒,πœ‘   𝑒,𝑆,π‘₯   π‘₯,𝑧,𝐢   𝑧,𝑒,𝑁,π‘₯   𝑒,𝑉,π‘₯,𝑧   𝑒,π‘Š,π‘₯   𝑒,𝐴,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐢(𝑒)   𝑃(π‘₯,𝑧,𝑒)   𝑆(𝑧)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑒)   𝐽(𝑧,𝑒)   π‘Š(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘Ÿ 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 lbsext.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
6 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
7 lbsext.p . . . 4 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 lbsext.t . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
10 lbsext.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 lveclmod 20954 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 lbsext.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
14 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
1514ssrab3 4075 . . . . . . . . . . 11 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑉
1613, 15sstrdi 3989 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑉)
1716sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑉)
1817elpwid 4606 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑉)
1918ssdifssd 4137 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
20 lbsext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
213, 20lspssv 20830 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉)
2212, 19, 21syl2an2r 682 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉)
2322ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉)
24 iunss 5041 . . . . 5 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉)
2523, 24sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉)
269, 25eqsstrid 4025 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
279a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
28 lbsext.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
293, 7, 20lspcl 20823 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ∈ 𝑃)
3012, 19, 29syl2an2r 682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ∈ 𝑃)
317lssn0 20787 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
3332ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
34 r19.2z 4489 . . . . . 6 ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
3528, 33, 34syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
36 iunn0 5063 . . . . 5 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ… ↔ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
3735, 36sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) β‰  βˆ…)
3827, 37eqnetrd 3002 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
399eleq2i 2819 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ 𝑣 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
40 eliun 4994 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑣 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
41 difeq1 4110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) = (π‘š βˆ– {π‘₯}))
4241fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘š β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})))
4342eleq2d 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = π‘š β†’ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯}))))
4443cbvrexvw 3229 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑣 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})))
4539, 40, 443bitri 297 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})))
469eleq2i 2819 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
47 eliun 4994 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
48 difeq1 4110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑛 β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) = (𝑛 βˆ– {π‘₯}))
4948fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑛 β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))
5049eleq2d 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ (𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))))
5150cbvrexvw 3229 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))
5246, 47, 513bitri 297 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))
5345, 52anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))))
54 reeanv 3220 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))))
5553, 54bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))))
56 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ πœ‘)
57 lbsext.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝐴)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ [⊊] Or 𝐴)
59 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴))
60 sorpssun 7717 . . . . . . . . . . 11 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) ∈ 𝐴)
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) ∈ 𝐴)
6256, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
63 elssuni 4934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š βˆͺ 𝑛) ∈ 𝐴 β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) βŠ† βˆͺ 𝐴)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) βŠ† βˆͺ 𝐴)
65 sspwuni 5096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝑉 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
6616, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
6756, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑉)
6864, 67sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) βŠ† 𝑉)
6968ssdifssd 4137 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
703, 7, 20lspcl 20823 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})) ∈ 𝑃)
7162, 69, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})) ∈ 𝑃)
72 simp1r 1195 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
73 ssun1 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘š βŠ† (π‘š βˆͺ 𝑛)
74 ssdif 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š βŠ† (π‘š βˆͺ 𝑛) β†’ (π‘š βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}))
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘š βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}))
763, 20lspss 20831 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘š βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
7762, 69, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
78 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})))
7977, 78sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
80 ssun2 4168 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 βŠ† (π‘š βˆͺ 𝑛)
81 ssdif 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 βŠ† (π‘š βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑛 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}))
8280, 81mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝑛 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}))
833, 20lspss 20831 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑛 βˆ– {π‘₯}) βŠ† ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
8462, 69, 82, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
85 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))
8684, 85sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
87 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
88 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
89 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
90 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9187, 88, 89, 90, 7lsscl 20789 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})) ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
9271, 72, 79, 86, 91syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
93 difeq1 4110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (π‘š βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) = ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}))
9493fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (π‘š βˆͺ 𝑛) β†’ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯})))
9594eliuni 4996 . . . . . . . . . 10 (((π‘š βˆͺ 𝑛) ∈ 𝐴 ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ (π‘β€˜((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
9661, 92, 95syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
9796, 9eleqtrrdi 2838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ 𝑇)
98973expia 1118 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ 𝑇))
9998rexlimdvva 3205 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝐴 βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝑣 ∈ (π‘β€˜(π‘š βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑛 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ 𝑇))
10055, 99biimtrid 241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝑣 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ 𝑇))
101100exp4b 430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑇 β†’ (𝑀 ∈ 𝑇 β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ 𝑇))))
1021013imp2 1346 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)(+gβ€˜π‘Š)𝑀) ∈ 𝑇)
1031, 2, 4, 5, 6, 8, 26, 38, 102islssd 20782 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
104 eldifi 4121 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐴)
105104adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐴)
106 eldifn 4122 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ {π‘₯})
107106ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ {π‘₯})
108 eldif 3953 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {π‘₯}))
1093, 20lspssid 20832 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
11012, 19, 109syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
111110adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
112111sseld 3976 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (𝑒 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
113108, 112biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
114107, 113mpan2d 691 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
115114reximdva 3162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
116 eluni2 4906 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑒)
117 eliun 4994 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
118115, 116, 1173imtr4g 296 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
119105, 118mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
120119ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))))
121120ssrdv 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† βˆͺ 𝑒 ∈ 𝐴 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})))
122121, 9sseqtrrdi 4028 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇)
123103, 122jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990   Or wor 5580  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   [⊊] crpss 7709  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LBasisclbs 20922  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  lbsextlem3  21011
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