MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextlem2 19556
Description: Lemma for lbsext 19560. Since 𝐴 is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union 𝑇 of the spans of each individual element of 𝐴 is a subspace, and it contains all of 𝐴 (except for our target vector 𝑥- we are trying to make 𝑥 a linear combination of all the other vectors in some set from 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c (𝜑𝐶𝑉)
lbsext.x (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a (𝜑𝐴𝑆)
lbsext.z (𝜑𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r (𝜑 → [] Or 𝐴)
lbsext.t 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2 (𝜑 → (𝑇𝑃 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2778 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2778 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 lbsext.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
5 eqidd 2778 . . 3 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝑊))
6 eqidd 2778 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lbsext.p . . . 4 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
87a1i 11 . . 3 (𝜑𝑃 = (LSubSp‘𝑊))
9 lbsext.t . . . 4 𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
10 lbsext.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 19501 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lbsext.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑆)
14 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
15 ssrab2 3907 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ 𝒫 𝑉
1614, 15eqsstri 3853 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
1713, 16syl6ss 3832 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
1817sselda 3820 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐴) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑉)
1918elpwid 4390 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐴) → 𝑢𝑉)
2019ssdifssd 3970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
21 lbsext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
223, 21lspssv 19378 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
2312, 20, 22syl2an2r 675 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
2423ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
25 iunss 4794 . . . . 5 ( 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
2624, 25sylibr 226 . . . 4 (𝜑 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉)
279, 26syl5eqss 3867 . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
289a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 = 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
29 lbsext.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
303, 7, 21lspcl 19371 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
3112, 20, 30syl2an2r 675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
327lssn0 19333 . . . . . . . 8 ((𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃 → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3433ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
35 r19.2z 4282 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅) → ∃𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3629, 34, 35syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
37 iunn0 4813 . . . . 5 (∃𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅ ↔ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3836, 37sylib 210 . . . 4 (𝜑 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ≠ ∅)
3928, 38eqnetrd 3035 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
409eleq2i 2850 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑇𝑣 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
41 eliun 4757 . . . . . . . . 9 (𝑣 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
42 difeq1 3943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∖ {𝑥}) = (𝑚 ∖ {𝑥}))
4342fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑚 → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
4443eleq2d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑚 → (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥}))))
4544cbvrexv 3367 . . . . . . . . 9 (∃𝑢𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
4640, 41, 453bitri 289 . . . . . . . 8 (𝑣𝑇 ↔ ∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
479eleq2i 2850 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑇𝑤 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
48 eliun 4757 . . . . . . . . 9 (𝑤 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
49 difeq1 3943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑛 → (𝑢 ∖ {𝑥}) = (𝑛 ∖ {𝑥}))
5049fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑛 → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
5150eleq2d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑛 → (𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
5251cbvrexv 3367 . . . . . . . . 9 (∃𝑢𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
5347, 48, 523bitri 289 . . . . . . . 8 (𝑤𝑇 ↔ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
5446, 53anbi12i 620 . . . . . . 7 ((𝑣𝑇𝑤𝑇) ↔ (∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
55 reeanv 3292 . . . . . . 7 (∃𝑚𝐴𝑛𝐴 (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))) ↔ (∃𝑚𝐴 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ ∃𝑛𝐴 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
5654, 55bitr4i 270 . . . . . 6 ((𝑣𝑇𝑤𝑇) ↔ ∃𝑚𝐴𝑛𝐴 (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))))
57 simp1l 1211 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝜑)
58 lbsext.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → [] Or 𝐴)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → [] Or 𝐴)
60 simp2 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝐴𝑛𝐴))
61 sorpssun 7221 . . . . . . . . . . 11 (( [] Or 𝐴 ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴)) → (𝑚𝑛) ∈ 𝐴)
6259, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝑛) ∈ 𝐴)
6357, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
64 elssuni 4702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑛) ∈ 𝐴 → (𝑚𝑛) ⊆ 𝐴)
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝑛) ⊆ 𝐴)
66 sspwuni 4845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 𝐴𝑉)
6717, 66sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 𝐴𝑉)
6857, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝐴𝑉)
6965, 68sstrd 3830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚𝑛) ⊆ 𝑉)
7069ssdifssd 3970 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
713, 7, 21lspcl 19371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
7263, 70, 71syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃)
73 simp1r 1212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
74 ssun1 3998 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 ⊆ (𝑚𝑛)
75 ssdif 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ⊆ (𝑚𝑛) → (𝑚 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
7674, 75mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑚 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
773, 21lspss 19379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑚 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
7863, 70, 76, 77syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
79 simp3l 1215 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})))
8078, 79sseldd 3821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑣 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
81 ssun2 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 ⊆ (𝑚𝑛)
82 ssdif 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ⊆ (𝑚𝑛) → (𝑛 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
8381, 82mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑛 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
843, 21lspss 19379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑛 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
8563, 70, 83, 84syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
86 simp3r 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))
8785, 86sseldd 3821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
88 eqid 2777 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
89 eqid 2777 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
90 eqid 2777 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
91 eqid 2777 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
9288, 89, 90, 91, 7lsscl 19335 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∈ 𝑃 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
9372, 73, 80, 87, 92syl13anc 1440 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
94 difeq1 3943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (𝑚𝑛) → (𝑢 ∖ {𝑥}) = ((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))
9594fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝑚𝑛) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥})))
9695eliuni 4759 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑛) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ (𝑁‘((𝑚𝑛) ∖ {𝑥}))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
9762, 93, 96syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
9897, 9syl6eleqr 2869 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴) ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥})))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇)
99983expia 1111 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑚𝐴𝑛𝐴)) → ((𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))
10099rexlimdvva 3220 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑚𝐴𝑛𝐴 (𝑣 ∈ (𝑁‘(𝑚 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑛 ∖ {𝑥}))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))
10156, 100syl5bi 234 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑣𝑇𝑤𝑇) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))
102101exp4b 423 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣𝑇 → (𝑤𝑇 → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇))))
1031023imp2 1411 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣𝑇𝑤𝑇)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑣)(+g𝑊)𝑤) ∈ 𝑇)
1041, 2, 4, 5, 6, 8, 27, 39, 103islssd 19328 . 2 (𝜑𝑇𝑃)
105 eldifi 3954 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) → 𝑦 𝐴)
106105adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑦 𝐴)
107 eldifn 3955 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})
108107ad2antlr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})
109 eldif 3801 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑢 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝑢 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥}))
1103, 21lspssid 19380 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
11112, 20, 110syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐴) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
112111adantlr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
113112sseld 3819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑢 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
114109, 113syl5bir 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → ((𝑦𝑢 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
115108, 114mpan2d 684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
116115reximdva 3197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → (∃𝑢𝐴 𝑦𝑢 → ∃𝑢𝐴 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
117 eluni2 4675 . . . . . . 7 (𝑦 𝐴 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑦𝑢)
118 eliun 4757 . . . . . . 7 (𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
119116, 117, 1183imtr4g 288 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝑦 𝐴𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
120106, 119mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
121120ex 403 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) → 𝑦 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
122121ssrdv 3826 . . 3 (𝜑 → ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑢𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
123122, 9syl6sseqr 3870 . 2 (𝜑 → ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
124104, 123jca 507 1 (𝜑 → (𝑇𝑃 ∧ ( 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  cdif 3788  cun 3789  wss 3791  c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   cuni 4671   ciun 4753   Or wor 5273  cfv 6135  (class class class)co 6922   [] crpss 7213  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366  LBasisclbs 19469  LVecclvec 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-rpss 7214  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498
This theorem is referenced by:  lbsextlem3  19557
  Copyright terms: Public domain W3C validator