Theorem lssne0 20794

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (shne0i 31196 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssne0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem lssne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lssn0 20783	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ≠ ∅)
3		eqsn 4825	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
5		nne 2936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑦 = 0 )
6	5	ralbii 3085	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 )
7		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
8	6, 7	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
9	4, 8	bitr2di 288	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 = { 0 }))
10	9	necon1abid 2971	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  ∅c0 4315  {csn 4621  ‘cfv 6534  0_gc0g 17390  LSubSpclss 20774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-lss 20775

This theorem is referenced by:  lsmsat  38382  lssatomic  38385  dochsatshpb  40827  hgmapvvlem3  41300