Theorem lssne0 21124

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (shne0i 31873 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssne0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem lssne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lssn0 21113	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ≠ ∅)
3		eqsn 4797	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
5		nne 2964	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑦 = 0 )
6	5	ralbii 3113	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 )
7		ralnex 3093	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
8	6, 7	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
9	4, 8	bitr2di 291	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 = { 0 }))
10	9	necon1abid 2998	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  {csn 4591  ‘cfv 6540  0_gc0g 17516  LSubSpclss 21104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-lss 21105

This theorem is used by:  lsmsat  39842  lssatomic  39845  dochsatshpb  42286  hgmapvvlem3  42759