Theorem lssne0 20857

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (shne0i 31377 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssne0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem lssne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lssn0 20846	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ≠ ∅)
3		eqsn 4793	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
5		nne 2929	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑦 = 0 )
6	5	ralbii 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 )
7		ralnex 3055	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
8	6, 7	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
9	4, 8	bitr2di 288	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 = { 0 }))
10	9	necon1abid 2963	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∅c0 4296  {csn 4589  ‘cfv 6511  0_gc0g 17402  LSubSpclss 20837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-lss 20838

This theorem is referenced by:  lsmsat  39001  lssatomic  39004  dochsatshpb  41446  hgmapvvlem3  41919