Theorem lssne0 20888

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (shne0i 31432 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssne0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem lssne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lssn0 20877	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ≠ ∅)
3		eqsn 4782	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
5		nne 2933	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑦 = 0 )
6	5	ralbii 3079	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 )
7		ralnex 3059	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
8	6, 7	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
9	4, 8	bitr2di 288	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 = { 0 }))
10	9	necon1abid 2967	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  ∅c0 4282  {csn 4577  ‘cfv 6488  0_gc0g 17347  LSubSpclss 20868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-ov 7357  df-lss 20869

This theorem is referenced by:  lsmsat  39130  lssatomic  39133  dochsatshpb  41574  hgmapvvlem3  42047