Theorem lssne0 21138

Description: A nonzero subspace has a nonzero vector. (shne0i 31932 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssne0	⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem lssne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss0cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lssn0 21127	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ≠ ∅)
3		eqsn 4790	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 = { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ))
5		nne 2959	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑦 = 0 )
6	5	ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 )
7		ralnex 3088	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
8	6, 7	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 = 0 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 )
9	4, 8	bitr2di 291	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 = { 0 }))
10	9	necon1abid 2993	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑋 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑦 ≠ 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4279  {csn 4584  ‘cfv 6533  0_gc0g 17527  LSubSpclss 21118

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-lss 21119

This theorem is used by:  lsmsat  39884  lssatomic  39887  dochsatshpb  42328  hgmapvvlem3  42801