MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltgov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltgov 27838
Description: Strict "shorter than" geometric relation between segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
legval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
legval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
legval.l ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
legval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( βˆ’ β€œ (𝑃 Γ— 𝑃))
legso.f (πœ‘ β†’ Fun βˆ’ )
legso.l < = (( ≀ β†Ύ 𝐸) βˆ– I )
legso.d (πœ‘ β†’ (𝑃 Γ— 𝑃) βŠ† dom βˆ’ )
ltgov.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ltgov.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
ltgov (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) β‰  (𝐢 βˆ’ 𝐷))))

Proof of Theorem ltgov
StepHypRef Expression
1 legso.l . . . . 5 < = (( ≀ β†Ύ 𝐸) βˆ– I )
21breqi 5154 . . . 4 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡)(( ≀ β†Ύ 𝐸) βˆ– I )(𝐢 βˆ’ 𝐷))
3 brdif 5201 . . . 4 ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(( ≀ β†Ύ 𝐸) βˆ– I )(𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)( ≀ β†Ύ 𝐸)(𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
42, 3bitri 275 . . 3 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)( ≀ β†Ύ 𝐸)(𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
5 ovex 7439 . . . . 5 (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∈ V
65brresi 5989 . . . 4 ((𝐴 βˆ’ 𝐡)( ≀ β†Ύ 𝐸)(𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
76anbi1i 625 . . 3 (((𝐴 βˆ’ 𝐡)( ≀ β†Ύ 𝐸)(𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷)) ↔ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷)) ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
8 an21 643 . . 3 ((((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷)) ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷)) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
94, 7, 83bitri 297 . 2 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
10 ltgov.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
11 ltgov.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 legso.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun βˆ’ )
13 legso.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Γ— 𝑃) βŠ† dom βˆ’ )
1410, 11, 12, 13elovimad 7454 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ( βˆ’ β€œ (𝑃 Γ— 𝑃)))
15 legso.a . . . . . 6 𝐸 = ( βˆ’ β€œ (𝑃 Γ— 𝑃))
1614, 15eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸)
1716biantrurd 534 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
185ideq 5851 . . . . 5 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
1918necon3bbii 2989 . . . 4 (Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) β‰  (𝐢 βˆ’ 𝐷))
2017, 19bitr3di 286 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷)) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) β‰  (𝐢 βˆ’ 𝐷)))
2120anbi2d 630 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝐸 ∧ Β¬ (𝐴 βˆ’ 𝐡) I (𝐢 βˆ’ 𝐷))) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) β‰  (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
229, 21bitrid 283 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) β‰  (𝐢 βˆ’ 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   I cid 5573   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  distcds 17203  TarskiGcstrkg 27668  Itvcitv 27674  β‰€Gcleg 27823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-fv 6549  df-ov 7409
This theorem is referenced by:  legov3  27839  legso  27840
  Copyright terms: Public domain W3C validator