MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov3 28606
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
ltgov.a (𝜑𝐴𝑃)
ltgov.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . 4 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legso.a . . . 4 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
7 legso.f . . . 4 (𝜑 → Fun )
8 legso.l . . . 4 < = (( 𝐸) ∖ I )
9 legso.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
10 ltgov.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
11 ltgov.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 28605 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
1312orbi1d 917 . 2 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
14 simprl 771 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 28595 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1816, 17breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
20 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2114, 19, 20mpjaodan 961 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
22 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
23 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
2423neqned 2947 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))
2522, 24jca 511 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)))
2625ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2726orrd 864 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) ∨ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2827orcomd 872 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2921, 28impbida 801 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)))
3013, 29bitr2d 280 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951   class class class wbr 5143   I cid 5577   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  ≤Gcleg 28590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591
This theorem is referenced by:  legso  28607
  Copyright terms: Public domain W3C validator