Theorem legov3 29088

Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a	⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f	⊢ (𝜑 → Fun − )
legso.l	⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
legso.d	⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
ltgov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ltgov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov3	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ((𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))))

Proof of Theorem legov3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legso.a	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
7		legso.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun − )
8		legso.l	. . . 4 ⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
9		legso.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
10		ltgov.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		ltgov.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ltgov 29087	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷))))
13	12	orbi1d 930	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))))
14		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
15	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	legid 29077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
18	16, 17	breqtrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
19	18	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))
21	14, 19, 20	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
22		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
23		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → ¬ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
24	23	neqned 2966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷))
25	22, 24	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) → (¬ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷))))
27	26	orrd 877	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷) ∨ ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷))))
28	27	orcomd 885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))
29	21, 28	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷)))
30	13, 29	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ((𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106   I cid 5549   × cxp 5653  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fun wfun 6549  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  ≤Gcleg 29072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-leg 29073

This theorem is used by:  legso  29089