MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov3 28620
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
ltgov.a (𝜑𝐴𝑃)
ltgov.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . 4 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legso.a . . . 4 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
7 legso.f . . . 4 (𝜑 → Fun )
8 legso.l . . . 4 < = (( 𝐸) ∖ I )
9 legso.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
10 ltgov.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
11 ltgov.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 28619 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
1312orbi1d 916 . 2 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
14 simprl 771 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 28609 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1816, 17breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
20 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2114, 19, 20mpjaodan 960 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
22 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
23 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
2423neqned 2944 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))
2522, 24jca 511 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)))
2625ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2726orrd 863 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) ∨ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2827orcomd 871 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2921, 28impbida 801 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)))
3013, 29bitr2d 280 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962   class class class wbr 5147   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  ≤Gcleg 28604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-cgrg 28533  df-leg 28605
This theorem is referenced by:  legso  28621
  Copyright terms: Public domain W3C validator