Theorem legso 29062

Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a	⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f	⊢ (𝜑 → Fun − )
legso.l	⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
legso.d	⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )

Assertion

Ref	Expression
legso	⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Proof of Theorem legso

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2965	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦)
2	1	intnan 492	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))
3		legval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
7		legval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		legso.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
11		legso.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun − )
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → Fun − )
13	12	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
14		legso.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
15		legso.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
16	15	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
17		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18	ltgov 29060	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))))
20	2, 19	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦))
21		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
22	21, 21	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦)))
23	20, 22	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
25	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24	ltgseg 29059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
26	23, 25	r19.29vva 3223	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
27	7	ad8antr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29		simp-9r 806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simp-8r 804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
31		simp-6r 800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
32		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
33		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
34		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
35		simp-10r 808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐))
36	35	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
38		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
39	36, 37, 38	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡))
40	11	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
41	40	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → Fun − )
42	15	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
43	42	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
44	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 29060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))))
45	39, 44	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡)))
46	45	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
47	35	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
49	47, 38, 48	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣))
50	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32	ltgov 29060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
51	49, 50	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣)))
52	51	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
53	3, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52	legtrd 29052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣))
54	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
56	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
57	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
58	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
60	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
62	60, 61	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦))
63	3, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62	legtri3 29053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
64	45	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
65	64	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
66	65	neneqd 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
67	63, 66	pm2.65da 829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
68	67	neqned 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))
69	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 29060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
70	53, 68, 69	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣))
71	70, 37, 48	3brtr4d 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸))
73	72	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
74	73	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
75	3, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74	ltgseg 29059	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
76	71, 75	r19.29vva 3223	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
77	7	ad5antr 747	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
78	11	ad5antr 747	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
79	72	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
80	3, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79	ltgseg 29059	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
81	76, 80	r19.29vva 3223	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
82	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → Fun − )
84		simplr1 1234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
85	3, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84	ltgseg 29059	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
86	81, 85	r19.29vva 3223	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
87	86	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
88	26, 87	ispod 5568	. 2 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐸)
89	7	ad8antr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90		simp-6r 800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
91		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
92		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
94	3, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93	legtrid 29054	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)))
95	11	ad8antr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
96	15	ad8antr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
97	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91	legov3 29061	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
98	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93	legov3 29061	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
99	97, 98	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))))
100	94, 99	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
101		eqcom 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ↔ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))
102	101	orbi2i 926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))
103	102	orbi2i 926	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
104		df-3or 1104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
105		3orcomb 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
106		orordir 943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
107	104, 105, 106	3bitr3ri 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
108	103, 107	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
109	100, 108	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
110		simp-4r 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
111		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
112	110, 111	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡)))
113	110, 111	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
114	111, 110	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
115	112, 113, 114	3orbi123d 1463	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦))))
116	109, 115	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
117	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	11	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → Fun − )
119		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝑏 ∈ 𝐸)
120	3, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119	ltgseg 29059	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
121	120	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
122	116, 121	r19.29vva 3223	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
123	25	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
124	122, 123	r19.29vva 3223	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
125	124	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
126	88, 125	issod 5594	1 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   I cid 5545   Or wor 5558   × cxp 5649  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  ≤Gcleg 29045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046

This theorem is used by: (None)