legso - Metamath Proof Explorer

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Theorem legso 26072

Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a	⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f	⊢ (𝜑 → Fun − )
legso.l	⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
legso.d	⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )

**Assertion**
Ref	Expression
legso	⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Proof of Theorem legso Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2993	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦)
2	1	intnan 487	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))
3		legval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
7		legval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad3antrrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		legso.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
11		legso.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun − )
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → Fun − )
13	12	ad3antrrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
14		legso.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
15		legso.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
16	15	ad4antr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
17		simpllr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18	ltgov 26070	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))))
20	2, 19	mtbiri 328	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦))
21		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
22	21, 21	breq12d 4979	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦)))
23	20, 22	mtbird 326	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
25	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24	ltgseg 26069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
26	23, 25	r19.29vva 3297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
27	7	ad8antr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	27	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29		simp-9r 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simp-8r 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
31		simp-6r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
32		simp-5r 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
33		simpllr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
34		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
35		simp-10r 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐))
36	35	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37		simp-7r 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
38		simp-4r 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
39	36, 37, 38	3brtr3d 4997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡))
40	11	ad8antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
41	40	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → Fun − )
42	15	ad8antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
43	42	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
44	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 26070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))))
45	39, 44	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡)))
46	45	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
47	35	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
49	47, 38, 48	3brtr3d 4997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣))
50	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32	ltgov 26070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
51	49, 50	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣)))
52	51	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
53	3, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52	legtrd 26062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣))
54	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
56	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
57	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
58	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
60	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
61		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
62	60, 61	breqtrrd 4994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦))
63	3, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62	legtri3 26063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
64	45	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
66	65	neneqd 2989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
67	63, 66	pm2.65da 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
68	67	neqned 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))
69	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 26070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
70	53, 68, 69	mpbir2and 709	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣))
71	70, 37, 48	3brtr4d 4998	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72		simp-5r 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸))
73	72	simp3d 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
74	73	ad3antrrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
75	3, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74	ltgseg 26069	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
76	71, 75	r19.29vva 3297	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
77	7	ad5antr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
78	11	ad5antr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
79	72	simp2d 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
80	3, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79	ltgseg 26069	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
81	76, 80	r19.29vva 3297	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
82	7	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	11	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → Fun − )
84		simplr1 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
85	3, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84	ltgseg 26069	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
86	81, 85	r19.29vva 3297	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
87	86	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
88	26, 87	ispod 5375	. 2 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐸)
89	7	ad8antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90		simp-6r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
91		simp-5r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
92		simpllr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
94	3, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93	legtrid 26064	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)))
95	11	ad8antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
96	15	ad8antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
97	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91	legov3 26071	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
98	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93	legov3 26071	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
99	97, 98	orbi12d 913	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))))
100	94, 99	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
101		eqcom 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ↔ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))
102	101	orbi2i 907	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))
103	102	orbi2i 907	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
104		df-3or 1081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
105		3orcomb 1087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
106		orordir 924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
107	104, 105, 106	3bitr3ri 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
108	103, 107	bitr3i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
109	100, 108	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
110		simp-4r 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
111		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
112	110, 111	breq12d 4979	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡)))
113	110, 111	eqeq12d 2810	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
114	111, 110	breq12d 4979	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
115	112, 113, 114	3orbi123d 1427	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦))))
116	109, 115	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
117	7	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	11	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → Fun − )
119		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝑏 ∈ 𝐸)
120	3, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119	ltgseg 26069	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
121	120	ad3antrrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
122	116, 121	r19.29vva 3297	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
123	25	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
124	122, 123	r19.29vva 3297	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
125	124	anasss 467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
126	88, 125	issod 5399	1 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∨ wo 842 ∨ w3o 1079 ∧ w3a 1080 = wceq 1522 ∈ wcel 2081 ≠ wne 2984 ∃wrex 3106 ∖ cdif 3860 ⊆ wss 3863 class class class wbr 4966 I cid 5352 Or wor 5366 × cxp 5446 dom cdm 5448 ↾ cres 5450 “ cima 5451 Fun wfun 6224 ‘cfv 6230 (class class class)co 7021 Basecbs 16317 distcds 16408 TarskiGcstrkg 25903 Itvcitv 25909 ≤Gcleg 26055

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1777 ax-4 1791 ax-5 1888 ax-6 1947 ax-7 1992 ax-8 2083 ax-9 2091 ax-10 2112 ax-11 2126 ax-12 2141 ax-13 2344 ax-ext 2769 ax-rep 5086 ax-sep 5099 ax-nul 5106 ax-pow 5162 ax-pr 5226 ax-un 7324 ax-cnex 10444 ax-resscn 10445 ax-1cn 10446 ax-icn 10447 ax-addcl 10448 ax-addrcl 10449 ax-mulcl 10450 ax-mulrcl 10451 ax-mulcom 10452 ax-addass 10453 ax-mulass 10454 ax-distr 10455 ax-i2m1 10456 ax-1ne0 10457 ax-1rid 10458 ax-rnegex 10459 ax-rrecex 10460 ax-cnre 10461 ax-pre-lttri 10462 ax-pre-lttrn 10463 ax-pre-ltadd 10464 ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1525 df-ex 1762 df-nf 1766 df-sb 2043 df-mo 2576 df-eu 2612 df-clab 2776 df-cleq 2788 df-clel 2863 df-nfc 2935 df-ne 2985 df-nel 3091 df-ral 3110 df-rex 3111 df-reu 3112 df-rmo 3113 df-rab 3114 df-v 3439 df-sbc 3710 df-csb 3816 df-dif 3866 df-un 3868 df-in 3870 df-ss 3878 df-pss 3880 df-nul 4216 df-if 4386 df-pw 4459 df-sn 4477 df-pr 4479 df-tp 4481 df-op 4483 df-uni 4750 df-int 4787 df-iun 4831 df-br 4967 df-opab 5029 df-mpt 5046 df-tr 5069 df-id 5353 df-eprel 5358 df-po 5367 df-so 5368 df-fr 5407 df-we 5409 df-xp 5454 df-rel 5455 df-cnv 5456 df-co 5457 df-dm 5458 df-rn 5459 df-res 5460 df-ima 5461 df-pred 6028 df-ord 6074 df-on 6075 df-lim 6076 df-suc 6077 df-iota 6194 df-fun 6232 df-fn 6233 df-f 6234 df-f1 6235 df-fo 6236 df-f1o 6237 df-fv 6238 df-riota 6982 df-ov 7024 df-oprab 7025 df-mpo 7026 df-om 7442 df-1st 7550 df-2nd 7551 df-wrecs 7803 df-recs 7865 df-rdg 7903 df-1o 7958 df-oadd 7962 df-er 8144 df-pm 8264 df-en 8363 df-dom 8364 df-sdom 8365 df-fin 8366 df-dju 9181 df-card 9219 df-pnf 10528 df-mnf 10529 df-xr 10530 df-ltxr 10531 df-le 10532 df-sub 10724 df-neg 10725 df-nn 11492 df-2 11553 df-3 11554 df-n0 11751 df-xnn0 11821 df-z 11835 df-uz 12099 df-fz 12748 df-fzo 12889 df-hash 13546 df-word 13713 df-concat 13774 df-s1 13799 df-s2 14051 df-s3 14052 df-trkgc 25921 df-trkgb 25922 df-trkgcb 25923 df-trkg 25926 df-cgrg 25984 df-leg 26056

This theorem is referenced by: (None)

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