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Theorem legso 27541
Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
Assertion
Ref Expression
legso (𝜑< Or 𝐸)

Proof of Theorem legso
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2952 . . . . . . 7 ¬ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦)
21intnan 487 . . . . . 6 ¬ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))
3 legval.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
7 legval.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 legso.a . . . . . . 7 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
11 legso.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun )
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → Fun )
1312ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
14 legso.l . . . . . . 7 < = (( 𝐸) ∖ I )
15 legso.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
1615ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
17 simpllr 774 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑥𝑃)
18 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑃)
193, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18ltgov 27539 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))))
202, 19mtbiri 326 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦))
21 simpr 485 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2221, 21breq12d 5118 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦)))
2320, 22mtbird 324 . . . 4 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
253, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24ltgseg 27538 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2623, 25r19.29vva 3207 . . 3 ((𝜑𝑎𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
277ad8antr 738 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29 simp-9r 792 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
30 simp-8r 790 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
31 simp-6r 786 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
32 simp-5r 784 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
33 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑢𝑃)
34 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑣𝑃)
35 simp-10r 794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐))
3635simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37 simp-7r 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
38 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
3936, 37, 383brtr3d 5136 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡))
4011ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
4140ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → Fun )
4215ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
4342ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
443, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 27539 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))))
4539, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡)))
4645simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
4735simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 𝑣))
4947, 38, 483brtr3d 5136 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣))
503, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32ltgov 27539 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣)))
5251simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
533, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52legtrd 27531 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣))
5428adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5529adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
5630adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
5731adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
5832adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
5946adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
6052adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6260, 61breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦))
633, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62legtri3 27532 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6445simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6665neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6763, 66pm2.65da 815 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6867neqned 2950 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))
693, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 27539 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))))
7053, 68, 69mpbir2and 711 . . . . . . . 8 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣))
7170, 37, 483brtr4d 5137 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72 simp-5r 784 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸))
7372simp3d 1144 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑐𝐸)
7473ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑐𝐸)
753, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74ltgseg 27538 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 𝑐 = (𝑢 𝑣))
7671, 75r19.29vva 3207 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
777ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7811ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
7972simp2d 1143 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑏𝐸)
803, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79ltgseg 27538 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
8176, 80r19.29vva 3207 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
827ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8311ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → Fun )
84 simplr1 1215 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎𝐸)
853, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84ltgseg 27538 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
8681, 85r19.29vva 3207 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
8786ex 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
8826, 87ispod 5554 . 2 (𝜑< Po 𝐸)
897ad8antr 738 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90 simp-6r 786 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑥𝑃)
91 simp-5r 784 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑦𝑃)
92 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑧𝑃)
93 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑡𝑃)
943, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93legtrid 27533 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)))
9511ad8antr 738 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
9615ad8antr 738 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
973, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91legov3 27540 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
983, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93legov3 27540 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
9997, 98orbi12d 917 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))))
10094, 99mpbid 231 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
101 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ↔ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))
102101orbi2i 911 . . . . . . . . 9 (((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))
103102orbi2i 911 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
104 df-3or 1088 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
105 3orcomb 1094 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
106 orordir 928 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
107104, 105, 1063bitr3ri 301 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
108103, 107bitr3i 276 . . . . . . 7 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
109100, 108sylib 217 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
110 simp-4r 782 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
111 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
112110, 111breq12d 5118 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡)))
113110, 111eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
114111, 110breq12d 5118 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
115112, 113, 1143orbi123d 1435 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦))))
116109, 115mpbird 256 . . . . 5 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
1177ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11811ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → Fun )
119 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝑏𝐸)
1203, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119ltgseg 27538 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
121120ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
122116, 121r19.29vva 3207 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12325adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
124122, 123r19.29vva 3207 . . 3 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
125124anasss 467 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12688, 125issod 5578 1 (𝜑< Or 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910   class class class wbr 5105   I cid 5530   Or wor 5544   × cxp 5631  dom cdm 5633  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  ≤Gcleg 27524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395  df-cgrg 27453  df-leg 27525
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