Theorem legso 28683

Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a	⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f	⊢ (𝜑 → Fun − )
legso.l	⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
legso.d	⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )

Assertion

Ref	Expression
legso	⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Proof of Theorem legso

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2942	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦)
2	1	intnan 486	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))
3		legval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
7		legval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		legso.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
11		legso.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun − )
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → Fun − )
13	12	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
14		legso.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
15		legso.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
16	15	ad4antr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
17		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18	ltgov 28681	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))))
20	2, 19	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
22	21, 21	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦)))
23	20, 22	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
25	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24	ltgseg 28680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
26	23, 25	r19.29vva 3198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
27	7	ad8antr 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	27	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29		simp-9r 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simp-8r 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
31		simp-6r 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
32		simp-5r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
33		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
34		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
35		simp-10r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
38		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
39	36, 37, 38	3brtr3d 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡))
40	11	ad8antr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
41	40	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → Fun − )
42	15	ad8antr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
43	42	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
44	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 28681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))))
45	39, 44	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡)))
46	45	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
47	35	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
49	47, 38, 48	3brtr3d 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣))
50	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32	ltgov 28681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
51	49, 50	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣)))
52	51	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
53	3, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52	legtrd 28673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣))
54	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
56	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
57	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
58	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
60	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
61		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
62	60, 61	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦))
63	3, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62	legtri3 28674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
64	45	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
66	65	neneqd 2938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
67	63, 66	pm2.65da 817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
68	67	neqned 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))
69	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 28681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
70	53, 68, 69	mpbir2and 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣))
71	70, 37, 48	3brtr4d 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72		simp-5r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸))
73	72	simp3d 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
74	73	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
75	3, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74	ltgseg 28680	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
76	71, 75	r19.29vva 3198	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
77	7	ad5antr 735	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
78	11	ad5antr 735	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
79	72	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
80	3, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79	ltgseg 28680	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
81	76, 80	r19.29vva 3198	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
82	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	11	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → Fun − )
84		simplr1 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
85	3, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84	ltgseg 28680	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
86	81, 85	r19.29vva 3198	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
87	86	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
88	26, 87	ispod 5549	. 2 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐸)
89	7	ad8antr 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90		simp-6r 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
91		simp-5r 786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
92		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
94	3, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93	legtrid 28675	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)))
95	11	ad8antr 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
96	15	ad8antr 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
97	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91	legov3 28682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
98	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93	legov3 28682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
99	97, 98	orbi12d 919	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))))
100	94, 99	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
101		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ↔ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))
102	101	orbi2i 913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))
103	102	orbi2i 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
104		df-3or 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
105		3orcomb 1094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
106		orordir 930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
107	104, 105, 106	3bitr3ri 302	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
108	103, 107	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
109	100, 108	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
110		simp-4r 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
111		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
112	110, 111	breq12d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡)))
113	110, 111	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
114	111, 110	breq12d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
115	112, 113, 114	3orbi123d 1438	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦))))
116	109, 115	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
117	7	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	11	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → Fun − )
119		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝑏 ∈ 𝐸)
120	3, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119	ltgseg 28680	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
121	120	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
122	116, 121	r19.29vva 3198	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
123	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
124	122, 123	r19.29vva 3198	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
125	124	anasss 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
126	88, 125	issod 5575	1 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   I cid 5526   Or wor 5539   × cxp 5630  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  ≤Gcleg 28666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-cgrg 28595  df-leg 28667

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