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Theorem legso 28622
Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
Assertion
Ref Expression
legso (𝜑< Or 𝐸)

Proof of Theorem legso
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2947 . . . . . . 7 ¬ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦)
21intnan 486 . . . . . 6 ¬ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))
3 legval.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
7 legval.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 legso.a . . . . . . 7 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
11 legso.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun )
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → Fun )
1312ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
14 legso.l . . . . . . 7 < = (( 𝐸) ∖ I )
15 legso.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
1615ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
17 simpllr 776 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑥𝑃)
18 simplr 769 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑃)
193, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18ltgov 28620 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))))
202, 19mtbiri 327 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦))
21 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2221, 21breq12d 5161 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦)))
2320, 22mtbird 325 . . . 4 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
253, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24ltgseg 28619 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2623, 25r19.29vva 3214 . . 3 ((𝜑𝑎𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
277ad8antr 740 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2827ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29 simp-9r 794 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
30 simp-8r 792 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
31 simp-6r 788 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
32 simp-5r 786 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
33 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑢𝑃)
34 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑣𝑃)
35 simp-10r 796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐))
3635simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
38 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
3936, 37, 383brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡))
4011ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
4140ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → Fun )
4215ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
4342ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
443, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 28620 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))))
4539, 44mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡)))
4645simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
4735simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 𝑣))
4947, 38, 483brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣))
503, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32ltgov 28620 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣))))
5149, 50mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣)))
5251simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
533, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52legtrd 28612 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣))
5428adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5529adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
5630adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
5731adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
5832adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
5946adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
6052adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6260, 61breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦))
633, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62legtri3 28613 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6445simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6665neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6763, 66pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6867neqned 2945 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))
693, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 28620 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))))
7053, 68, 69mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣))
7170, 37, 483brtr4d 5180 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72 simp-5r 786 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸))
7372simp3d 1143 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑐𝐸)
7473ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑐𝐸)
753, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74ltgseg 28619 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 𝑐 = (𝑢 𝑣))
7671, 75r19.29vva 3214 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
777ad5antr 734 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7811ad5antr 734 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
7972simp2d 1142 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑏𝐸)
803, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79ltgseg 28619 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
8176, 80r19.29vva 3214 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
827ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8311ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → Fun )
84 simplr1 1214 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎𝐸)
853, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84ltgseg 28619 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
8681, 85r19.29vva 3214 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
8786ex 412 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
8826, 87ispod 5606 . 2 (𝜑< Po 𝐸)
897ad8antr 740 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90 simp-6r 788 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑥𝑃)
91 simp-5r 786 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑦𝑃)
92 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑧𝑃)
93 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑡𝑃)
943, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93legtrid 28614 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)))
9511ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
9615ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
973, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91legov3 28621 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
983, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93legov3 28621 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
9997, 98orbi12d 918 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))))
10094, 99mpbid 232 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
101 eqcom 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ↔ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))
102101orbi2i 912 . . . . . . . . 9 (((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))
103102orbi2i 912 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
104 df-3or 1087 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
105 3orcomb 1093 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
106 orordir 929 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
107104, 105, 1063bitr3ri 302 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
108103, 107bitr3i 277 . . . . . . 7 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
109100, 108sylib 218 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
110 simp-4r 784 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
111 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
112110, 111breq12d 5161 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡)))
113110, 111eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
114111, 110breq12d 5161 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
115112, 113, 1143orbi123d 1434 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦))))
116109, 115mpbird 257 . . . . 5 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
1177ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11811ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → Fun )
119 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝑏𝐸)
1203, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119ltgseg 28619 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
121120ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
122116, 121r19.29vva 3214 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12325adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
124122, 123r19.29vva 3214 . . 3 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
125124anasss 466 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12688, 125issod 5631 1 (𝜑< Or 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963   class class class wbr 5148   I cid 5582   Or wor 5596   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  ≤Gcleg 28605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-leg 28606
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