Theorem legso 27830

Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a	⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f	⊢ (𝜑 → Fun − )
legso.l	⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
legso.d	⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )

Assertion

Ref	Expression
legso	⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Proof of Theorem legso

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2950	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦)
2	1	intnan 488	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))
3		legval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
7		legval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		legso.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ( − “ (𝑃 × 𝑃))
11		legso.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun − )
12	11	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → Fun − )
13	12	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
14		legso.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (( ≤ ↾ 𝐸) ∖ I )
15		legso.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
16	15	ad4antr 731	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
17		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18	ltgov 27828	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑥 − 𝑦))))
20	2, 19	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦))
21		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
22	21, 21	breq12d 5160	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − 𝑦)))
23	20, 22	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
25	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24	ltgseg 27827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
26	23, 25	r19.29vva 3214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
27	7	ad8antr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29		simp-9r 793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simp-8r 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
31		simp-6r 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
32		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
33		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
35		simp-10r 795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐))
36	35	simpld 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37		simp-7r 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
38		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
39	36, 37, 38	3brtr3d 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡))
40	11	ad8antr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
41	40	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → Fun − )
42	15	ad8antr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
43	42	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
44	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 27828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))))
45	39, 44	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡)))
46	45	simpld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
47	35	simprd 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
49	47, 38, 48	3brtr3d 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣))
50	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32	ltgov 27828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
51	49, 50	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑡) ≠ (𝑢 − 𝑣)))
52	51	simpld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
53	3, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52	legtrd 27820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣))
54	28	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
56	30	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
57	31	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
58	32	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	46	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡))
60	52	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑢 − 𝑣))
61		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
62	60, 61	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦))
63	3, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62	legtri3 27821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
64	45	simprd 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
65	64	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑧 − 𝑡))
66	65	neneqd 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
67	63, 66	pm2.65da 816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
68	67	neqned 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))
69	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 27828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑢 − 𝑣) ∧ (𝑥 − 𝑦) ≠ (𝑢 − 𝑣))))
70	53, 68, 69	mpbir2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑢 − 𝑣))
71	70, 37, 48	3brtr4d 5179	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 − 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸))
73	72	simp3d 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
74	73	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
75	3, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74	ltgseg 27827	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑐 = (𝑢 − 𝑣))
76	71, 75	r19.29vva 3214	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
77	7	ad5antr 733	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
78	11	ad5antr 733	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → Fun − )
79	72	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
80	3, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79	ltgseg 27827	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
81	76, 80	r19.29vva 3214	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
82	7	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	11	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → Fun − )
84		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
85	3, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84	ltgseg 27827	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
86	81, 85	r19.29vva 3214	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
87	86	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
88	26, 87	ispod 5596	. 2 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐸)
89	7	ad8antr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90		simp-6r 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
91		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
92		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
94	3, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93	legtrid 27822	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)))
95	11	ad8antr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → Fun − )
96	15	ad8antr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom − )
97	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91	legov3 27829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
98	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93	legov3 27829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
99	97, 98	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) ≤ (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) ≤ (𝑥 − 𝑦)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))))
100	94, 99	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
101		eqcom 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ↔ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))
102	101	orbi2i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦)))
103	102	orbi2i 912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))))
104		df-3or 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
105		3orcomb 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
106		orordir 929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ↔ (((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
107	104, 105, 106	3bitr3ri 302	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
108	103, 107	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)) ∨ ((𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦) ∨ (𝑧 − 𝑡) = (𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
109	100, 108	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
110		simp-4r 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
111		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
112	110, 111	breq12d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡)))
113	110, 111	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
114	111, 110	breq12d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦)))
115	112, 113, 114	3orbi123d 1436	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡) ∨ (𝑧 − 𝑡) < (𝑥 − 𝑦))))
116	109, 115	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 − 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
117	7	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → Fun − )
119		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → 𝑏 ∈ 𝐸)
120	3, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119	ltgseg 27827	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
121	120	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 𝑏 = (𝑧 − 𝑡))
122	116, 121	r19.29vva 3214	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 − 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
123	25	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑎 = (𝑥 − 𝑦))
124	122, 123	r19.29vva 3214	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
125	124	anasss 468	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎))
126	88, 125	issod 5620	1 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   I cid 5572   Or wor 5586   × cxp 5673  dom cdm 5675   ↾ cres 5677   “ cima 5678  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  ≤Gcleg 27813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-cgrg 27742  df-leg 27814

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