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Theorem legso 28608
Description: The "shorter than" relation induces an order on pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
Assertion
Ref Expression
legso (𝜑< Or 𝐸)

Proof of Theorem legso
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2948 . . . . . . 7 ¬ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦)
21intnan 486 . . . . . 6 ¬ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))
3 legval.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.l . . . . . . 7 = (≤G‘𝐺)
7 legval.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 legso.a . . . . . . 7 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
11 legso.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun )
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐸) → Fun )
1312ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
14 legso.l . . . . . . 7 < = (( 𝐸) ∖ I )
15 legso.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
1615ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
17 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑥𝑃)
18 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑃)
193, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18ltgov 28606 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑦) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑥 𝑦))))
202, 19mtbiri 327 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦))
21 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2221, 21breq12d 5155 . . . . 5 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑎 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑥 𝑦)))
2320, 22mtbird 325 . . . 4 (((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
253, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24ltgseg 28605 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
2623, 25r19.29vva 3215 . . 3 ((𝜑𝑎𝐸) → ¬ 𝑎 < 𝑎)
277ad8antr 740 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2827ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29 simp-9r 793 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
30 simp-8r 791 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
31 simp-6r 787 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
32 simp-5r 785 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑢𝑃)
34 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑣𝑃)
35 simp-10r 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐))
3635simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑏)
37 simp-7r 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
38 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
3936, 37, 383brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡))
4011ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
4140ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → Fun )
4215ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
4342ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
443, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 28606 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))))
4539, 44mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡)))
4645simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
4735simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑏 < 𝑐)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑐 = (𝑢 𝑣))
4947, 38, 483brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣))
503, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32ltgov 28606 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣))))
5149, 50mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑧 𝑡) ≠ (𝑢 𝑣)))
5251simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
533, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52legtrd 28598 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣))
5428adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5529adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑥𝑃)
5630adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑦𝑃)
5731adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑧𝑃)
5832adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → 𝑡𝑃)
5946adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡))
6052adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑢 𝑣))
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6260, 61breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦))
633, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62legtri3 28599 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6445simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑧 𝑡))
6665neneqd 2944 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) ∧ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))
6763, 66pm2.65da 816 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ¬ (𝑥 𝑦) = (𝑢 𝑣))
6867neqned 2946 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))
693, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 28606 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑢 𝑣) ∧ (𝑥 𝑦) ≠ (𝑢 𝑣))))
7053, 68, 69mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → (𝑥 𝑦) < (𝑢 𝑣))
7170, 37, 483brtr4d 5174 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑐 = (𝑢 𝑣)) → 𝑎 < 𝑐)
72 simp-5r 785 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸))
7372simp3d 1144 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑐𝐸)
7473ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑐𝐸)
753, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74ltgseg 28605 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 𝑐 = (𝑢 𝑣))
7671, 75r19.29vva 3215 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 < 𝑐)
777ad5antr 734 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7811ad5antr 734 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → Fun )
7972simp2d 1143 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑏𝐸)
803, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79ltgseg 28605 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
8176, 80r19.29vva 3215 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → 𝑎 < 𝑐)
827ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8311ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → Fun )
84 simplr1 1215 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎𝐸)
853, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84ltgseg 28605 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
8681, 85r19.29vva 3215 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐)) → 𝑎 < 𝑐)
8786ex 412 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐) → 𝑎 < 𝑐))
8826, 87ispod 5600 . 2 (𝜑< Po 𝐸)
897ad8antr 740 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
90 simp-6r 787 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑥𝑃)
91 simp-5r 785 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑦𝑃)
92 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑧𝑃)
93 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑡𝑃)
943, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93legtrid 28600 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)))
9511ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → Fun )
9615ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
973, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91legov3 28607 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
983, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93legov3 28607 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
9997, 98orbi12d 918 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) (𝑥 𝑦)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))))
10094, 99mpbid 232 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
101 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ↔ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))
102101orbi2i 912 . . . . . . . . 9 (((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦)))
103102orbi2i 912 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))))
104 df-3or 1087 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
105 3orcomb 1093 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
106 orordir 929 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ↔ (((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))))
107104, 105, 1063bitr3ri 302 . . . . . . . 8 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
108103, 107bitr3i 277 . . . . . . 7 ((((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)) ∨ ((𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦) ∨ (𝑧 𝑡) = (𝑥 𝑦))) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
109100, 108sylib 218 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
110 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑎 = (𝑥 𝑦))
111 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → 𝑏 = (𝑧 𝑡))
112110, 111breq12d 5155 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡)))
113110, 111eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡)))
114111, 110breq12d 5155 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑏 < 𝑎 ↔ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦)))
115112, 113, 1143orbi123d 1436 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → ((𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ((𝑥 𝑦) < (𝑧 𝑡) ∨ (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑡) ∨ (𝑧 𝑡) < (𝑥 𝑦))))
116109, 115mpbird 257 . . . . 5 (((((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ 𝑏 = (𝑧 𝑡)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
1177ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11811ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → Fun )
119 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → 𝑏𝐸)
1203, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119ltgseg 28605 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
121120ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝑃𝑡𝑃 𝑏 = (𝑧 𝑡))
122116, 121r19.29vva 3215 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎 = (𝑥 𝑦)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12325adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 𝑎 = (𝑥 𝑦))
124122, 123r19.29vva 3215 . . 3 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
125124anasss 466 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏𝑏 < 𝑎))
12688, 125issod 5626 1 (𝜑< Or 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cdif 3947  wss 3950   class class class wbr 5142   I cid 5576   Or wor 5590   × cxp 5682  dom cdm 5684  cres 5686  cima 5687  Fun wfun 6554  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28436  Itvcitv 28442  ≤Gcleg 28591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28457  df-trkgb 28458  df-trkgcb 28459  df-trkg 28462  df-cgrg 28520  df-leg 28592
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