Theorem brresi 5986

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5984	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↾ cres 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-res 5672

This theorem is used by:  dfres2  6042  poirr2  6123  cores  6249  resco  6250  rnco  6252  rncoOLD  6253  dfpo2  6297  fnres  6662  fvres  6900  nfunsn  6920  eqfunresadj  7360  1stconst  8093  2ndconst  8094  fsplit  8110  fprlem1  8295  ttrclresv  9684  ttrclselem2  9693  frrlem15  9727  dprd2da  20120  metustid  24722  dvres  26081  dvres2  26082  ltgov  28877  hlimadd  31556  hhcmpl  31563  hhcms  31566  hlim0  31598  dfdm5  36273  dfrn5  36274  txpss3v  36376  brtxp  36378  pprodss4v  36382  brpprod  36383  brimg  36435  brapply  36436  funpartfun  36443  dfrdg4  36451  xrnss3v  39058  funressnfv  47808  funressnvmo  47810  afv2res  48004  tposres0  49683  setrec2lem2  50500