Theorem brresi 5948

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5946	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-res 5643

This theorem is referenced by:  dfres2  6001  poirr2  6085  cores  6210  resco  6211  rnco  6213  dfpo2  6257  fnres  6627  fvres  6859  nfunsn  6882  eqfunresadj  7317  1stconst  8056  2ndconst  8057  fsplit  8073  fprlem1  8256  ttrclresv  9646  ttrclselem2  9655  frrlem15  9686  dprd2da  19958  metustid  24475  dvres  25845  dvres2  25846  ltgov  28577  hlimadd  31172  hhcmpl  31179  hhcms  31182  hlim0  31214  dfdm5  35753  dfrn5  35754  txpss3v  35859  brtxp  35861  pprodss4v  35865  brpprod  35866  brimg  35918  brapply  35919  funpartfun  35924  dfrdg4  35932  xrnss3v  38347  funressnfv  47037  funressnvmo  47039  afv2res  47233  tposres0  48858  setrec2lem2  49676