Theorem brresi 5957

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5955	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↾ cres 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5640  df-res 5646

This theorem is referenced by:  dfres2  6010  poirr2  6091  cores  6217  resco  6218  rnco  6220  rncoOLD  6221  dfpo2  6264  fnres  6629  fvres  6863  nfunsn  6883  eqfunresadj  7318  1stconst  8054  2ndconst  8055  fsplit  8071  fprlem1  8254  ttrclresv  9640  ttrclselem2  9649  frrlem15  9683  dprd2da  19990  metustid  24515  dvres  25885  dvres2  25886  ltgov  28687  hlimadd  31287  hhcmpl  31294  hhcms  31297  hlim0  31329  dfdm5  35995  dfrn5  35996  txpss3v  36098  brtxp  36100  pprodss4v  36104  brpprod  36105  brimg  36157  brapply  36158  funpartfun  36165  dfrdg4  36173  xrnss3v  38661  funressnfv  47432  funressnvmo  47434  afv2res  47628  tposres0  49265  setrec2lem2  50082