Theorem brresi 5959

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5957	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↾ cres 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-res 5650

This theorem is referenced by:  dfres2  6012  poirr2  6097  cores  6222  resco  6223  rnco  6225  dfpo2  6269  fnres  6645  fvres  6877  nfunsn  6900  eqfunresadj  7335  1stconst  8079  2ndconst  8080  fsplit  8096  fprlem1  8279  ttrclresv  9670  ttrclselem2  9679  frrlem15  9710  dprd2da  19974  metustid  24442  dvres  25812  dvres2  25813  ltgov  28524  hlimadd  31122  hhcmpl  31129  hhcms  31132  hlim0  31164  dfdm5  35760  dfrn5  35761  txpss3v  35866  brtxp  35868  pprodss4v  35872  brpprod  35873  brimg  35925  brapply  35926  funpartfun  35931  dfrdg4  35939  xrnss3v  38354  funressnfv  47044  funressnvmo  47046  afv2res  47240  tposres0  48865  setrec2lem2  49683