Theorem brresi 5949

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5947	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↾ cres 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-res 5638

This theorem is referenced by:  dfres2  6002  poirr2  6083  cores  6209  resco  6210  rnco  6212  rncoOLD  6213  dfpo2  6256  fnres  6621  fvres  6855  nfunsn  6875  eqfunresadj  7310  1stconst  8045  2ndconst  8046  fsplit  8062  fprlem1  8245  ttrclresv  9633  ttrclselem2  9642  frrlem15  9676  dprd2da  20014  metustid  24533  dvres  25892  dvres2  25893  ltgov  28683  hlimadd  31283  hhcmpl  31290  hhcms  31293  hlim0  31325  dfdm5  35975  dfrn5  35976  txpss3v  36078  brtxp  36080  pprodss4v  36084  brpprod  36085  brimg  36137  brapply  36138  funpartfun  36145  dfrdg4  36153  xrnss3v  38720  funressnfv  47507  funressnvmo  47509  afv2res  47703  tposres0  49368  setrec2lem2  50185