Theorem brresi 5953

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5951	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↾ cres 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-res 5643

This theorem is referenced by:  dfres2  6006  poirr2  6087  cores  6213  resco  6214  rnco  6216  rncoOLD  6217  dfpo2  6260  fnres  6625  fvres  6859  nfunsn  6879  eqfunresadj  7315  1stconst  8050  2ndconst  8051  fsplit  8067  fprlem1  8250  ttrclresv  9638  ttrclselem2  9647  frrlem15  9681  dprd2da  20019  metustid  24519  dvres  25878  dvres2  25879  ltgov  28665  hlimadd  31264  hhcmpl  31271  hhcms  31274  hlim0  31306  dfdm5  35955  dfrn5  35956  txpss3v  36058  brtxp  36060  pprodss4v  36064  brpprod  36065  brimg  36117  brapply  36118  funpartfun  36125  dfrdg4  36133  xrnss3v  38702  funressnfv  47491  funressnvmo  47493  afv2res  47687  tposres0  49352  setrec2lem2  50169