Theorem brresi 5948

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5946	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   class class class wbr 5099   ↾ cres 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-res 5637

This theorem is referenced by:  dfres2  6001  poirr2  6082  cores  6208  resco  6209  rnco  6211  rncoOLD  6212  dfpo2  6255  fnres  6620  fvres  6854  nfunsn  6874  eqfunresadj  7308  1stconst  8044  2ndconst  8045  fsplit  8061  fprlem1  8244  ttrclresv  9630  ttrclselem2  9639  frrlem15  9673  dprd2da  19977  metustid  24502  dvres  25872  dvres2  25873  ltgov  28673  hlimadd  31272  hhcmpl  31279  hhcms  31282  hlim0  31314  dfdm5  35969  dfrn5  35970  txpss3v  36072  brtxp  36074  pprodss4v  36078  brpprod  36079  brimg  36131  brapply  36132  funpartfun  36139  dfrdg4  36147  xrnss3v  38584  funressnfv  47356  funressnvmo  47358  afv2res  47552  tposres0  49189  setrec2lem2  50006