Theorem cvrat 40671

Description: A nonzero Hilbert lattice element less than the join of two atoms is an atom. (atcvati 33018 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
cvrat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem cvrat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrat.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrat.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cvrat.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		cvrat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	cvratlem 40670	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴))
7		hllat 40612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
9		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10	1, 5	atbase 40538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		simpr3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
13	1, 5	atbase 40538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
15	1, 3	latjcom 18650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
16	8, 11, 14, 15	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
17	16	breq2d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑄 ∨ 𝑃)))
18	17	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑄 ∨ 𝑃))))
19		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
20		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4, 5	cvratlem 40670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑄 ∨ 𝑃))) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴))
22	21	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑄 ∨ 𝑃)) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))
23	19, 20, 12, 9, 22	syl13anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑄 ∨ 𝑃)) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))
24	18, 23	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))
25	24	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴))
26		hlpos 40615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
28	1, 3	latjcl 18642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
29	8, 11, 14, 28	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
30		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
31	1, 30, 2	pltnle 18539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)𝑋)
32	31	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
33	27, 20, 29, 32	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
34	1, 30, 3	latjle12 18653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
35	8, 11, 14, 20, 34	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
36	35	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑋) → (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
37	33, 36	nsyld 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ (𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑋)))
38		ianor 997	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑋) ↔ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋))
39	37, 38	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋)))
40	39	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋))
41	40	adantrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋))
42	6, 25, 41	mpjaod 874	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
43	42	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  lecple 17464  Posetcpo 18510  ltcplt 18511  joincjn 18514  0.cp0 18624  Latclat 18634  Atomscatm 40512  HLchlt 40599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600

This theorem is used by:  cvrat2  40678