Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat 35443
Description: A nonzero Hilbert lattice element less than the join of two atoms is an atom. (atcvati 29770 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat.s < = (lt‘𝐾)
cvrat.j = (join‘𝐾)
cvrat.z 0 = (0.‘𝐾)
cvrat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))

Proof of Theorem cvrat
StepHypRef Expression
1 cvrat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrat.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
3 cvrat.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 cvrat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
5 cvrat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5cvratlem 35442 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))
7 hllat 35384 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
87adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simpr2 1251 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
101, 5atbase 35310 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐵)
12 simpr3 1253 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
131, 5atbase 35310 . . . . . . . . 9 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐵)
151, 3latjcom 17374 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
168, 11, 14, 15syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
1716breq2d 4855 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑄 𝑃)))
1817anbi2d 623 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄)) ↔ (𝑋0𝑋 < (𝑄 𝑃))))
19 simpl 475 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
20 simpr1 1249 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
211, 2, 3, 4, 5cvratlem 35442 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑃𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑄 𝑃))) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))
2221ex 402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑃𝐴)) → ((𝑋0𝑋 < (𝑄 𝑃)) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴)))
2319, 20, 12, 9, 22syl13anc 1492 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑋 < (𝑄 𝑃)) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴)))
2418, 23sylbid 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄)) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴)))
2524imp 396 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))
26 hlpos 35387 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2726adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
281, 3latjcl 17366 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
298, 11, 14, 28syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
30 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
311, 30, 2pltnle 17281 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → ¬ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)𝑋)
3231ex 402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
3327, 20, 29, 32syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
341, 30, 3latjle12 17377 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑄(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
358, 11, 14, 20, 34syl13anc 1492 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑄(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
3635biimpd 221 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑄(le‘𝐾)𝑋) → (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)𝑋))
3733, 36nsyld 156 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → ¬ (𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑄(le‘𝐾)𝑋)))
38 ianor 1005 . . . . . 6 (¬ (𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑄(le‘𝐾)𝑋) ↔ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋))
3937, 38syl6ib 243 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋)))
4039imp 396 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋))
4140adantrl 708 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ∨ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑋))
426, 25, 41mpjaod 887 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)
4342ex 402 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  lecple 16274  Posetcpo 17255  ltcplt 17256  joincjn 17259  0.cp0 17352  Latclat 17360  Atomscatm 35284  HLchlt 35371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372
This theorem is referenced by:  cvrat2  35450
  Copyright terms: Public domain W3C validator