Theorem cvrnbtwn 40594

Description: There is no element between the two arguments of the covers relation. (cvnbtwn 32945 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnbtwn	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌))

Proof of Theorem cvrnbtwn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrfval.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrfval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 40592	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5	4	3adant3r3 1203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
6		ralnex 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
7		breq2 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑧 ↔ 𝑋 < 𝑍))
8		breq1 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 < 𝑌 ↔ 𝑍 < 𝑌))
9	7, 8	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
10	9	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
11	10	rspcv 3576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
12	6, 11	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
13	12	adantld 496	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
15	14	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
16	5, 15	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
17	16	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  ltcplt 18532   ⋖ ccvr 40585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-covers 40589

This theorem is used by:  cvrnbtwn2  40598  cvrnbtwn3  40599  cvrnbtwn4  40602  ltltncvr  40746