Theorem cvrnbtwn 38047

Description: There is no element between the two arguments of the covers relation. (cvnbtwn 31504 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnbtwn	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌))

Proof of Theorem cvrnbtwn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrfval.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrfval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 38045	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5	4	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
6		ralnex 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
7		breq2 5148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑧 ↔ 𝑋 < 𝑍))
8		breq1 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 < 𝑌 ↔ 𝑍 < 𝑌))
9	7, 8	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
10	9	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
11	10	rspcv 3607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
12	6, 11	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
13	12	adantld 492	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
14	13	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
15	14	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
16	5, 15	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
17	16	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  Basecbs 17131  ltcplt 18248   ⋖ ccvr 38038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fv 6543  df-covers 38042

This theorem is referenced by:  cvrnbtwn2  38051  cvrnbtwn3  38052  cvrnbtwn4  38055  ltltncvr  38200