Theorem cvrnbtwn 38136

Description: There is no element between the two arguments of the covers relation. (cvnbtwn 31534 analog.) (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnbtwn	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌))

Proof of Theorem cvrnbtwn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrfval.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrfval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 38134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5	4	3adant3r3 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
6		ralnex 3072	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
7		breq2 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑧 ↔ 𝑋 < 𝑍))
8		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 < 𝑌 ↔ 𝑍 < 𝑌))
9	7, 8	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
10	9	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
11	10	rspcv 3608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
12	6, 11	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
13	12	adantld 491	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
16	5, 15	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌)))
17	16	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ (𝑋 < 𝑍 ∧ 𝑍 < 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  ltcplt 18260   ⋖ ccvr 38127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-covers 38131

This theorem is referenced by:  cvrnbtwn2  38140  cvrnbtwn3  38141  cvrnbtwn4  38144  ltltncvr  38289