Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submgmacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submgmacs 44467
 Description: Submagmas are an algebraic closure system. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
submgmacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submgmacs (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submgmacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submgmacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2798 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2issubmgm 44452 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
4 velpw 4502 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
54anbi1i 626 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
63, 5bitr4di 292 . . . 4 (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
76abbi2dv 2927 . . 3 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
8 df-rab 3115 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
97, 8eqtr4di 2851 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠})
101fvexi 6660 . . 3 𝐵 ∈ V
111, 2mgmcl 17850 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
12113expb 1117 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1312ralrimivva 3156 . . 3 (𝐺 ∈ Mgm → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14 acsfn2 16929 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
1510, 13, 14sylancr 590 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
169, 15eqeltrd 2890 1 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  ACScacs 16851  Mgmcmgm 17845  SubMgmcsubmgm 44441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-fin 8499  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-submgm 44443 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator