Theorem submgmacs 18765

Description: Submagmas are an algebraic closure system. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
submgmacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submgmacs	⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submgmacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submgmacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	issubmgm 18750	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
4		velpw 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	anbi1i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
6	3, 5	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7	6	eqabdv 2898	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
8		df-rab 3418	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
9	7, 8	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠})
10	1	fvexi 6885	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	1, 2	mgmcl 18691	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
12	11	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13	12	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14		acsfn2 17709	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
15	10, 13, 14	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
16	9, 15	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∀wral 3079  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ACScacs 17627  Mgmcmgm 18686  SubMgmcsubmgm 18739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-1o 8441  df-2o 8442  df-en 8932  df-fin 8935  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-submgm 18741

This theorem is referenced by: (None)