Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submgmacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submgmacs 46030
Description: Submagmas are an algebraic closure system. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
submgmacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submgmacs (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submgmacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submgmacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2issubmgm 46015 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
4 velpw 4563 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
54anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
63, 5bitr4di 288 . . . 4 (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
76abbi2dv 2876 . . 3 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
8 df-rab 3406 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
97, 8eqtr4di 2794 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠})
101fvexi 6853 . . 3 𝐵 ∈ V
111, 2mgmcl 18492 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
12113expb 1120 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1312ralrimivva 3195 . . 3 (𝐺 ∈ Mgm → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14 acsfn2 17535 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
1510, 13, 14sylancr 587 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
169, 15eqeltrd 2838 1 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3062  {crab 3405  Vcvv 3443  wss 3908  𝒫 cpw 4558  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  ACScacs 17457  Mgmcmgm 18487  SubMgmcsubmgm 46004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-om 7799  df-1o 8408  df-en 8880  df-fin 8883  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-submgm 46006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator