Theorem submgmacs 18935

Description: Submagmas are an algebraic closure system. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
submgmacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submgmacs	⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submgmacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submgmacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	issubmgm 18920	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
4		velpw 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
6	3, 5	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7	6	eqabdv 2897	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
8		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
9	7, 8	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠})
10	1	fvexi 6922	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	1, 2	mgmcl 18848	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
12	11	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13	12	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14		acsfn2 17866	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
15	10, 13, 14	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
16	9, 15	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ACScacs 17784  Mgmcmgm 18843  SubMgmcsubmgm 18909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 9002  df-fin 9005  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-submgm 18911

This theorem is used by: (None)