Theorem submgmacs 18654

Description: Submagmas are an algebraic closure system. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
submgmacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submgmacs	⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submgmacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submgmacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	issubmgm 18639	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
4		velpw 4561	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
6	3, 5	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7	6	eqabdv 2870	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
8		df-rab 3402	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
9	7, 8	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠})
10	1	fvexi 6856	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	1, 2	mgmcl 18580	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
12	11	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13	12	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
14		acsfn2 17598	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
15	10, 13, 14	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
16	9, 15	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ACScacs 17516  Mgmcmgm 18575  SubMgmcsubmgm 18628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-1o 8407  df-2o 8408  df-en 8896  df-fin 8899  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-submgm 18630

This theorem is referenced by: (None)