Theorem issubmgm2 18761

Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmgm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmgm2	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubmgm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3	1, 2	issubmgm 18760	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4		issubmgm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 17298	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ V
8	4, 7	eqeltri 2865	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
10	1	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	ssex 5292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
12	11	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
13	4, 2	ressplusg 17344	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
15		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑦))
16	15	eleq1d 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
18	17	eleq1d 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
19	16, 18	rspc2v 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
20	19	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
21	20	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22	21	3impib 1132	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
23	6, 9, 14, 22	ismgmd 18710	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	5	ad3antlr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	25, 26	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30	29, 26	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
33	31, 32	mgmcl 18701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
34	24, 27, 30, 33	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
35	11	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
37	36	oveqdr 7439	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	34, 37, 26	3eltr4d 2884	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	ralrimivva 3214	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
40	23, 39	impbida 812	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mgm))
41	40	pm5.32da 589	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))
42	3, 41	bitrd 282	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  Mgmcmgm 18696  SubMgmcsubmgm 18749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mgm 18698  df-submgm 18751

This theorem is referenced by:  submgmss  18763  submgmid  18764  submgmmgm  18766  subsubmgm  18768