Theorem issubmgm2 46639

Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmgm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmgm2	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubmgm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3	1, 2	issubmgm 46638	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4		issubmgm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 17184	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ V
8	4, 7	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
10	1	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	ssex 5321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
12	11	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
13	4, 2	ressplusg 17237	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
15		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑦))
16	15	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
18	17	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
19	16, 18	rspc2v 3622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
20	19	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22	21	3impib 1116	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
23	6, 9, 14, 22	ismgmd 46625	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	5	ad3antlr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	25, 26	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30	29, 26	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
33	31, 32	mgmcl 18566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
34	24, 27, 30, 33	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
35	11	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
37	36	oveqdr 7439	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	34, 37, 26	3eltr4d 2848	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	ralrimivva 3200	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
40	23, 39	impbida 799	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mgm))
41	40	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))
42	3, 41	bitrd 278	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146   ↾_s cress 17175  +_gcplusg 17199  Mgmcmgm 18561  SubMgmcsubmgm 46627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mgm 18563  df-submgm 46629

This theorem is referenced by:  submgmss  46641  submgmid  46642  submgmmgm  46644  subsubmgm  46646