Theorem issubmgm2 45344

Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmgm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmgm2	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubmgm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3	1, 2	issubmgm 45343	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4		issubmgm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 16949	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ V
8	4, 7	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
10	1	fvexi 6788	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	ssex 5245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
12	11	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
13	4, 2	ressplusg 17000	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
15		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑦))
16	15	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
18	17	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
19	16, 18	rspc2v 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
20	19	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22	21	3impib 1115	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
23	6, 9, 14, 22	ismgmd 45330	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	5	ad3antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	25, 26	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30	29, 26	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
33	31, 32	mgmcl 18329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
34	24, 27, 30, 33	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
35	11	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
37	36	oveqdr 7303	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	34, 37, 26	3eltr4d 2854	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	ralrimivva 3123	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
40	23, 39	impbida 798	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mgm))
41	40	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))
42	3, 41	bitrd 278	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  Mgmcmgm 18324  SubMgmcsubmgm 45332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mgm 18326  df-submgm 45334

This theorem is referenced by:  submgmss  45346  submgmid  45347  submgmmgm  45349  subsubmgm  45351