Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issubmgm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmgm2 44047
Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmgm2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubmgm2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubmgm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2819 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
31, 2issubmgm 44046 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4 issubmgm2.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
54, 1ressbas2 16547 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
65ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7 ovex 7181 . . . . . . 7 (𝑀s 𝑆) ∈ V
84, 7eqeltri 2907 . . . . . 6 𝐻 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
101fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1110ssex 5216 . . . . . . 7 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
1211ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
134, 2ressplusg 16604 . . . . . 6 (𝑆 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝐻))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g𝑀) = (+g𝐻))
15 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑎(+g𝑀)𝑦))
1615eleq1d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g𝑀)𝑦) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1817eleq1d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
1916, 18rspc2v 3631 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2019com12 32 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2120adantl 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22213impib 1111 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
236, 9, 14, 22ismgmd 44033 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
265ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2725, 26eleqtrd 2913 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2928adantl 484 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
3029, 26eleqtrd 2913 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31 eqid 2819 . . . . . . . 8 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 eqid 2819 . . . . . . . 8 (+g𝐻) = (+g𝐻)
3331, 32mgmcl 17847 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3424, 27, 30, 33syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3511ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
3635, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g𝑀) = (+g𝐻))
3736oveqdr 7176 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3834, 37, 263eltr4d 2926 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
3938ralrimivva 3189 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
4023, 39impbida 799 . . 3 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆𝐻 ∈ Mgm))
4140pm5.32da 581 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))
423, 41bitrd 281 1 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  Vcvv 3493  wss 3934  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  Mgmcmgm 17842  SubMgmcsubmgm 44035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mgm 17844  df-submgm 44037
This theorem is referenced by:  submgmss  44049  submgmid  44050  submgmmgm  44052  subsubmgm  44054
  Copyright terms: Public domain W3C validator