Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issubmgm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmgm2 44805
 Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmgm2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubmgm2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubmgm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2758 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
31, 2issubmgm 44804 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4 issubmgm2.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
54, 1ressbas2 16618 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
65ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7 ovex 7188 . . . . . . 7 (𝑀s 𝑆) ∈ V
84, 7eqeltri 2848 . . . . . 6 𝐻 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
101fvexi 6676 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1110ssex 5194 . . . . . . 7 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
1211ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
134, 2ressplusg 16675 . . . . . 6 (𝑆 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝐻))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g𝑀) = (+g𝐻))
15 oveq1 7162 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑎(+g𝑀)𝑦))
1615eleq1d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g𝑀)𝑦) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1817eleq1d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
1916, 18rspc2v 3553 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2019com12 32 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2120adantl 485 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22213impib 1113 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
236, 9, 14, 22ismgmd 44791 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
265ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2725, 26eleqtrd 2854 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2928adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
3029, 26eleqtrd 2854 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝐻) = (+g𝐻)
3331, 32mgmcl 17926 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3424, 27, 30, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3511ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
3635, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g𝑀) = (+g𝐻))
3736oveqdr 7183 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3834, 37, 263eltr4d 2867 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
3938ralrimivva 3120 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
4023, 39impbida 800 . . 3 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆𝐻 ∈ Mgm))
4140pm5.32da 582 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))
423, 41bitrd 282 1 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546   ↾s cress 16547  +gcplusg 16628  Mgmcmgm 17921  SubMgmcsubmgm 44793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mgm 17923  df-submgm 44795 This theorem is referenced by:  submgmss  44807  submgmid  44808  submgmmgm  44810  subsubmgm  44812
 Copyright terms: Public domain W3C validator