Theorem issubmgm2 18623

Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmgm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmgm2	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubmgm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3	1, 2	issubmgm 18622	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4		issubmgm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 17178	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7		ovex 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ V
8	4, 7	eqeltri 2821	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
10	1	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	ssex 5311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
12	11	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
13	4, 2	ressplusg 17231	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
15		oveq1 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑦))
16	15	eleq1d 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17		oveq2 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
18	17	eleq1d 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
19	16, 18	rspc2v 3614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
20	19	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22	21	3impib 1113	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
23	6, 9, 14, 22	ismgmd 18572	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	5	ad3antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	25, 26	eleqtrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30	29, 26	eleqtrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
33	31, 32	mgmcl 18563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
34	24, 27, 30, 33	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
35	11	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
37	36	oveqdr 7429	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	34, 37, 26	3eltr4d 2840	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	ralrimivva 3192	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
40	23, 39	impbida 798	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mgm))
41	40	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))
42	3, 41	bitrd 279	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  Mgmcmgm 18558  SubMgmcsubmgm 18611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mgm 18560  df-submgm 18613

This theorem is referenced by:  submgmss  18625  submgmid  18626  submgmmgm  18628  subsubmgm  18630