Theorem issubmgm2 18892

Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmgm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmgm2	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubmgm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
3	1, 2	issubmgm 18891	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4		issubmgm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	4, 1	ressbas2 17416	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ V
8	4, 7	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
10	1	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	ssex 5281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
12	11	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
13	4, 2	ressplusg 17462	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
15		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑦))
16	15	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
17		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
18	17	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
19	16, 18	rspc2v 3586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
20	19	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
22	21	3impib 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
23	6, 9, 14, 22	ismgmd 18830	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
24		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
25		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	5	ad3antlr 744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	25, 26	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
28		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30	29, 26	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
33	31, 32	mgmcl 18819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
34	24, 27, 30, 33	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
35	11	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝐻))
37	36	oveqdr 7448	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	34, 37, 26	3eltr4d 2875	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
39	38	ralrimivva 3205	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
40	23, 39	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mgm))
41	40	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))
42	3, 41	bitrd 282	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ Mgm)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  +_gcplusg 17428  Mgmcmgm 18814  SubMgmcsubmgm 18880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mgm 18816  df-submgm 18882

This theorem is used by:  submgmss  18894  submgmid  18895  submgmmgm  18897  subsubmgm  18899