Theorem gsummgmpropd 18153

Description: A stronger version of gsumpropd 18150 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 18152. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgmpropd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
gsummgmpropd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
gsummgmpropd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
gsummgmpropd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsummgmpropd.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
gsummgmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
gsummgmpropd.n	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
gsummgmpropd.r	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummgmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑡   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡,𝑠)   𝑊(𝑡,𝑠)   𝑋(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem gsummgmpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgmpropd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		gsummgmpropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		gsummgmpropd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
4		gsummgmpropd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5		gsummgmpropd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7	mgmcl 18117	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
9	8	3expib 1124	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
11	10	imp 410	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummgmpropd.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
13		gsummgmpropd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14		gsummgmpropd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	gsumpropd2 18152	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ran crn 5552  Fun wfun 6374  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802   Σ_g cgsu 16945  Mgmcmgm 18112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mgm 18114

This theorem is referenced by:  gsumply1subr  21155