Theorem gsummgmpropd 18745

Description: A stronger version of gsumpropd 18742 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 18744. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgmpropd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
gsummgmpropd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
gsummgmpropd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
gsummgmpropd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsummgmpropd.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
gsummgmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
gsummgmpropd.n	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
gsummgmpropd.r	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummgmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑡   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡, 𝑠)   𝑊(𝑡, 𝑠)   𝑋(𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem gsummgmpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgmpropd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		gsummgmpropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		gsummgmpropd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
4		gsummgmpropd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5		gsummgmpropd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7	mgmcl 18707	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
9	8	3expib 1139	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
10	5, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
11	10	imp 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummgmpropd.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
13		gsummgmpropd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14		gsummgmpropd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	gsumpropd2 18744	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ran crn 5661  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316   Σ_g cgsu 17499  Mgmcmgm 18702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mgm 18704

This theorem is used by:  gsumply1subr  22404