MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummgmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummgmpropd 17661
Description: A stronger version of gsumpropd 17658 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 17660. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummgmpropd.f (𝜑𝐹𝑉)
gsummgmpropd.g (𝜑𝐺𝑊)
gsummgmpropd.h (𝜑𝐻𝑋)
gsummgmpropd.b (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsummgmpropd.m (𝜑𝐺 ∈ Mgm)
gsummgmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) = (𝑠(+g𝐻)𝑡))
gsummgmpropd.n (𝜑 → Fun 𝐹)
gsummgmpropd.r (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
gsummgmpropd (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑡   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡,𝑠)   𝑊(𝑡,𝑠)   𝑋(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem gsummgmpropd
StepHypRef Expression
1 gsummgmpropd.f . 2 (𝜑𝐹𝑉)
2 gsummgmpropd.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
3 gsummgmpropd.h . 2 (𝜑𝐻𝑋)
4 gsummgmpropd.b . 2 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5 gsummgmpropd.m . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mgm)
6 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2778 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
86, 7mgmcl 17631 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
983expib 1113 . . . 4 (𝐺 ∈ Mgm → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
105, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
1110imp 397 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
12 gsummgmpropd.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) = (𝑠(+g𝐻)𝑡))
13 gsummgmpropd.n . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
14 gsummgmpropd.r . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
151, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14gsumpropd2 17660 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  ran crn 5356  Fun wfun 6129  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338   Σg cgsu 16487  Mgmcmgm 17626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-seq 13120  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  20000
  Copyright terms: Public domain W3C validator