MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummgmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummgmpropd 17476
Description: A stronger version of gsumpropd 17473 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 17475. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummgmpropd.f (𝜑𝐹𝑉)
gsummgmpropd.g (𝜑𝐺𝑊)
gsummgmpropd.h (𝜑𝐻𝑋)
gsummgmpropd.b (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsummgmpropd.m (𝜑𝐺 ∈ Mgm)
gsummgmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) = (𝑠(+g𝐻)𝑡))
gsummgmpropd.n (𝜑 → Fun 𝐹)
gsummgmpropd.r (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
gsummgmpropd (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑡   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡,𝑠)   𝑊(𝑡,𝑠)   𝑋(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem gsummgmpropd
StepHypRef Expression
1 gsummgmpropd.f . 2 (𝜑𝐹𝑉)
2 gsummgmpropd.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
3 gsummgmpropd.h . 2 (𝜑𝐻𝑋)
4 gsummgmpropd.b . 2 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5 gsummgmpropd.m . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mgm)
6 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
86, 7mgmcl 17446 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
983expib 1116 . . . 4 (𝐺 ∈ Mgm → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
105, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
1110imp 393 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
12 gsummgmpropd.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g𝐺)𝑡) = (𝑠(+g𝐻)𝑡))
13 gsummgmpropd.n . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
14 gsummgmpropd.r . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
151, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14gsumpropd2 17475 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  ran crn 5250  Fun wfun 6023  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  +gcplusg 16142   Σg cgsu 16302  Mgmcmgm 17441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-seq 13002  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-mgm 17443
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  19812
  Copyright terms: Public domain W3C validator