Theorem gsummgmpropd 18695

Description: A stronger version of gsumpropd 18692 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 18694. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgmpropd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
gsummgmpropd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
gsummgmpropd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
gsummgmpropd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsummgmpropd.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
gsummgmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
gsummgmpropd.n	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
gsummgmpropd.r	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummgmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑡   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡,𝑠)   𝑊(𝑡,𝑠)   𝑋(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem gsummgmpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgmpropd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		gsummgmpropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		gsummgmpropd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
4		gsummgmpropd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5		gsummgmpropd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7	mgmcl 18657	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
9	8	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
11	10	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummgmpropd.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
13		gsummgmpropd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14		gsummgmpropd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	gsumpropd2 18694	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ran crn 5685  Fun wfun 6554  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17486  Mgmcmgm 18652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654

This theorem is referenced by:  gsumply1subr  22236