Theorem smndex1sgrp 18816

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1sgrp	⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mgm 18815	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Mgm
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	8, 9	mgmcl 18551	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
11	7, 10	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12		snex 5374	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐼} ∈ V
13		ovex 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
14		snex 5374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
15	13, 14	iunex 7900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
16	12, 15	unex 7677	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
17	5, 16	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
19	6, 18	ressplusg 17195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
21	20	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
22	21	oveqi 7359	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18814	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
24	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18813	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
25	23, 24	eqsstri 3981	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26		ssel 3928	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27		ssel 3928	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
28	26, 27	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
31	1, 30, 18	efmndov 18789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
32	29, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	22, 32	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	11, 33	symggrplem 18792	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐)))
35	34	rgen3 3177	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))
36	8, 9	issgrp 18628	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))))
37	7, 35, 36	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ∪ ciun 4941   ↦ cmpt 5172   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554   mod cmo 13773  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  Mgmcmgm 18546  Smgrpcsgrp 18626  EndoFMndcefmnd 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-efmnd 18777

This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18818