Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1sgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1sgrp 18071
 Description: The monoid of endofunctions on ℕ0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1sgrp 𝑆 ∈ Smgrp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mgm 18070 . 2 𝑆 ∈ Mgm
8 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
108, 9mgmcl 17853 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
117, 10mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12 snex 5320 . . . . . . . . . 10 {𝐼} ∈ V
13 ovex 7179 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑁) ∈ V
14 snex 5320 . . . . . . . . . . 11 {(𝐺𝑛)} ∈ V
1513, 14iunex 7661 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
1612, 15unex 7460 . . . . . . . . 9 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
175, 16eqeltri 2912 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
18 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (+g𝑀) = (+g𝑀)
196, 18ressplusg 16610 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑆)
2120eqcomi 2833 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑀)
2221oveqi 7159 . . . . 5 (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦)
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18069 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = 𝐵
241, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18068 . . . . . . . 8 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
2523, 24eqsstri 3987 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26 ssel 3946 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27 ssel 3946 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
2826, 27anim12d 611 . . . . . . 7 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
2925, 28ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
311, 30, 18efmndov 18044 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3229, 31syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3322, 32syl5eq 2871 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥𝑦))
3411, 33symggrplem 18047 . . 3 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐)))
3534rgen3 3199 . 2 𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐))
368, 9issgrp 17900 . 2 (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐))))
377, 35, 36mpbir2an 710 1 𝑆 ∈ Smgrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  {csn 4550  ∪ ciun 4906   ↦ cmpt 5133   ∘ ccom 5547  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  0cc0 10531  ℕcn 11632  ℕ0cn0 11892  ..^cfzo 13035   mod cmo 13239  Basecbs 16481   ↾s cress 16482  +gcplusg 16563  Mgmcmgm 17848  Smgrpcsgrp 17898  EndoFMndcefmnd 18031 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-tset 16582  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-efmnd 18032 This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18073
 Copyright terms: Public domain W3C validator