Theorem smndex1sgrp 18820

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1sgrp	⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mgm 18819	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Mgm
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	8, 9	mgmcl 18555	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
11	7, 10	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12		snex 5378	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐼} ∈ V
13		ovex 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
14		snex 5378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
15	13, 14	iunex 7908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
16	12, 15	unex 7685	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
17	5, 16	eqeltri 2829	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
19	6, 18	ressplusg 17199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
21	20	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
22	21	oveqi 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18818	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
24	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18817	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
25	23, 24	eqsstri 3977	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26		ssel 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27		ssel 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
28	26, 27	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
31	1, 30, 18	efmndov 18793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
32	29, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	22, 32	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	11, 33	symggrplem 18796	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐)))
35	34	rgen3 3178	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))
36	8, 9	issgrp 18632	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))))
37	7, 35, 36	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ∪ ciun 4943   ↦ cmpt 5176   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  ℕcn 12134  ℕ₀cn0 12390  ..^cfzo 13558   mod cmo 13777  Basecbs 17124   ↾_s cress 17145  +_gcplusg 17165  Mgmcmgm 18550  Smgrpcsgrp 18630  EndoFMndcefmnd 18780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-mod 13778  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-tset 17184  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-efmnd 18781

This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18822