Theorem smndex1sgrp 18718

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1sgrp	⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mgm 18717	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Mgm
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	8, 9	mgmcl 18500	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
11	7, 10	mp3an1 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12		snex 5388	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐼} ∈ V
13		ovex 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
14		snex 5388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
15	13, 14	iunex 7901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
16	12, 15	unex 7680	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
17	5, 16	eqeltri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
19	6, 18	ressplusg 17171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
21	20	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
22	21	oveqi 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18716	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
24	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18715	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
25	23, 24	eqsstri 3978	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26		ssel 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27		ssel 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
28	26, 27	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
31	1, 30, 18	efmndov 18691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
32	29, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	22, 32	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	11, 33	symggrplem 18694	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐)))
35	34	rgen3 3199	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))
36	8, 9	issgrp 18547	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))))
37	7, 35, 36	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4586  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  Mgmcmgm 18495  Smgrpcsgrp 18545  EndoFMndcefmnd 18678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-efmnd 18679

This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18720