Theorem smndex1sgrp 18877

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1sgrp	⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mgm 18876	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Mgm
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	8, 9	mgmcl 18609	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
11	7, 10	mp3an1 1456	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12		snex 5375	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐼} ∈ V
13		ovex 7396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
14		snex 5375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
15	13, 14	iunex 7917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
16	12, 15	unex 7694	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
17	5, 16	eqeltri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
19	6, 18	ressplusg 17252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
21	20	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
22	21	oveqi 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18875	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
24	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18874	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
25	23, 24	eqsstri 3968	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26		ssel 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27		ssel 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
28	26, 27	anim12d 615	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
31	1, 30, 18	efmndov 18847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
32	29, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	22, 32	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	11, 33	symggrplem 18850	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐)))
35	34	rgen3 3185	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))
36	8, 9	issgrp 18686	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑎(+g‘𝑆)(𝑏(+g‘𝑆)𝑐))))
37	7, 35, 36	mpbir2an 717	1 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ∪ ciun 4928   ↦ cmpt 5160   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ..^cfzo 13606   mod cmo 13826  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  Mgmcmgm 18604  Smgrpcsgrp 18684  EndoFMndcefmnd 18834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-efmnd 18835

This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18879