MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1sgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1sgrp 18335
Description: The monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1sgrp 𝑆 ∈ Smgrp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mgm 18334 . 2 𝑆 ∈ Mgm
8 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
108, 9mgmcl 18117 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
117, 10mp3an1 1450 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12 snex 5324 . . . . . . . . . 10 {𝐼} ∈ V
13 ovex 7246 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑁) ∈ V
14 snex 5324 . . . . . . . . . . 11 {(𝐺𝑛)} ∈ V
1513, 14iunex 7741 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
1612, 15unex 7531 . . . . . . . . 9 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
175, 16eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝑀) = (+g𝑀)
196, 18ressplusg 16834 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑆)
2120eqcomi 2746 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑀)
2221oveqi 7226 . . . . 5 (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦)
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18333 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = 𝐵
241, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18332 . . . . . . . 8 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
2523, 24eqsstri 3935 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26 ssel 3893 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27 ssel 3893 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
2826, 27anim12d 612 . . . . . . 7 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
2925, 28ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
311, 30, 18efmndov 18308 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3229, 31syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3322, 32syl5eq 2790 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥𝑦))
3411, 33symggrplem 18311 . . 3 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐)))
3534rgen3 3125 . 2 𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐))
368, 9issgrp 18164 . 2 (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐))))
377, 35, 36mpbir2an 711 1 𝑆 ∈ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  cun 3864  wss 3866  {csn 4541   ciun 4904  cmpt 5135  ccom 5555  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  cn 11830  0cn0 12090  ..^cfzo 13238   mod cmo 13442  Basecbs 16760  s cress 16784  +gcplusg 16802  Mgmcmgm 18112  Smgrpcsgrp 18162  EndoFMndcefmnd 18295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-efmnd 18296
This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18337
  Copyright terms: Public domain W3C validator