MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1sgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1sgrp 18547
Description: The monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) is a semigroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1sgrp 𝑆 ∈ Smgrp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1sgrp
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mgm 18546 . 2 𝑆 ∈ Mgm
8 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9 eqid 2738 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
108, 9mgmcl 18329 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
117, 10mp3an1 1447 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
12 snex 5354 . . . . . . . . . 10 {𝐼} ∈ V
13 ovex 7308 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑁) ∈ V
14 snex 5354 . . . . . . . . . . 11 {(𝐺𝑛)} ∈ V
1513, 14iunex 7811 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
1612, 15unex 7596 . . . . . . . . 9 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
175, 16eqeltri 2835 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
18 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (+g𝑀) = (+g𝑀)
196, 18ressplusg 17000 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑆)
2120eqcomi 2747 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑀)
2221oveqi 7288 . . . . 5 (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦)
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18545 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = 𝐵
241, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18544 . . . . . . . 8 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
2523, 24eqsstri 3955 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀)
26 ssel 3914 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
27 ssel 3914 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
2826, 27anim12d 609 . . . . . . 7 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
2925, 28ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
30 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
311, 30, 18efmndov 18520 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3229, 31syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3322, 32eqtrid 2790 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥𝑦))
3411, 33symggrplem 18523 . . 3 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐)))
3534rgen3 3121 . 2 𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐))
368, 9issgrp 18376 . 2 (𝑆 ∈ Smgrp ↔ (𝑆 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑐 ∈ (Base‘𝑆)((𝑎(+g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑐) = (𝑎(+g𝑆)(𝑏(+g𝑆)𝑐))))
377, 35, 36mpbir2an 708 1 𝑆 ∈ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3432  cun 3885  wss 3887  {csn 4561   ciun 4924  cmpt 5157  ccom 5593  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  cn 11973  0cn0 12233  ..^cfzo 13382   mod cmo 13589  Basecbs 16912  s cress 16941  +gcplusg 16962  Mgmcmgm 18324  Smgrpcsgrp 18374  EndoFMndcefmnd 18507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-efmnd 18508
This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18549
  Copyright terms: Public domain W3C validator