MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnndir 18833
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 18482 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
42, 3mgmcl 18431 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1163 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
653expb 1120 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
76adantlr 713 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
82, 3sgrpass 18483 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
98adantlr 713 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 simpr2 1195 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nnuz 12731 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
13 simpr1 1194 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 12535 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 eluzadd 12723 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1612, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1713nncnd 12099 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1810nncnd 12099 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1917, 18addcomd 11287 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20 ax-1cn 11039 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
21 addcom 11271 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2217, 20, 21sylancl 587 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2322fveq2d 6838 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(1 + 𝑀)))
2416, 19, 233eltr4d 2853 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2848 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
26 simpr3 1196 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
27 elfznn 13395 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
28 fvconst2g 7142 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
2926, 27, 28syl2an 597 . . . 4 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
3026adantr 482 . . . 4 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑋𝐵)
3129, 30eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝐵)
327, 9, 24, 25, 31seqsplit 13866 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
33 nnaddcl 12106 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3413, 10, 33syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
35 mulgnndir.t . . . 4 · = (.g𝐺)
36 eqid 2737 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
372, 3, 35, 36mulgnn 18809 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
3834, 26, 37syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
392, 3, 35, 36mulgnn 18809 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
4013, 26, 39syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41 elfznn 13395 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
4226, 41, 28syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
4326adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝐵)
44 nnaddcl 12106 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
4541, 13, 44syl2anr 598 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
46 fvconst2g 7142 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4743, 45, 46syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4842, 47eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)))
4912, 14, 48seqshft2 13859 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
502, 3, 35, 36mulgnn 18809 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5110, 26, 50syl2anc 585 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5222seqeq1d 13837 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋})))
5352, 19fveq12d 6841 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
5449, 51, 533eqtr4d 2787 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
5540, 54oveq12d 7364 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
5632, 38, 553eqtr4d 2787 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4581   × cxp 5625  cfv 6488  (class class class)co 7346  cc 10979  1c1 10982   + caddc 10984  cn 12083  cz 12429  cuz 12692  ...cfz 13349  seqcseq 13831  Basecbs 17014  +gcplusg 17064  Mgmcmgm 18426  Smgrpcsgrp 18476  .gcmg 18801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-fz 13350  df-seq 13832  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mulg 18802
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18834  mulgnnass  18839  isarchi3  31792
  Copyright terms: Public domain W3C validator