Theorem mulgnndir 19086

Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnndir	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnndir

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrpmgm 18702	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mulgnndir.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnndir.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	5	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	2, 3	sgrpass 18703	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnuz 12895	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
13		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		eluzadd 12881	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀)))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘(1 + 𝑀)))
17	13	nncnd 12256	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
18	10	nncnd 12256	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	17, 18	addcomd 11437	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20		ax-1cn 11187	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		addcom 11421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
22	17, 20, 21	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
23	22	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(1 + 𝑀)))
24	16, 19, 23	3eltr4d 2849	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
25	13, 11	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
26		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		elfznn 13570	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
28		fvconst2g 7194	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
30	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31	29, 30	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝐵)
32	7, 9, 24, 25, 31	seqsplit 14053	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
33		nnaddcl 12263	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
34	13, 10, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
35		mulgnndir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		eqid 2735	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
37	2, 3, 35, 36	mulgnn 19058	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
38	34, 26, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
39	2, 3, 35, 36	mulgnn 19058	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
40	13, 26, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41		elfznn 13570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
42	26, 41, 28	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
43	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44		nnaddcl 12263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
45	41, 13, 44	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
46		fvconst2g 7194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
47	43, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
48	42, 47	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)))
49	12, 14, 48	seqshft2 14046	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
50	2, 3, 35, 36	mulgnn 19058	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
51	10, 26, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
52	22	seqeq1d 14025	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋})))
53	52, 19	fveq12d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
54	49, 51, 53	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
55	40, 54	oveq12d 7423	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
56	32, 38, 55	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Mgmcmgm 18616  Smgrpcsgrp 18696  ._gcmg 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mulg 19051

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19087  mulgnnass  19092  isarchi3  33185  fidomncyc  42558