MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnndir 19030
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 18657 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ๐บ โˆˆ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+gโ€˜๐บ)
42, 3mgmcl 18576 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mgm โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
51, 4syl3an1 1160 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
653expb 1117 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
76adantlr 712 . . 3 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
82, 3sgrpass 18658 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) + ๐‘ง) = (๐‘ฅ + (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
98adantlr 712 . . 3 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) + ๐‘ง) = (๐‘ฅ + (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
10 simpr2 1192 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
11 nnuz 12869 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1210, 11eleqtrdi 2837 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
13 simpr1 1191 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1413nnzd 12589 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
15 eluzadd 12855 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + ๐‘€) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + ๐‘€)))
1612, 14, 15syl2anc 583 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ + ๐‘€) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + ๐‘€)))
1713nncnd 12232 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1810nncnd 12232 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcomd 11420 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘€))
20 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
21 addcom 11404 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ + 1) = (1 + ๐‘€))
2217, 20, 21sylancl 585 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + 1) = (1 + ๐‘€))
2322fveq2d 6889 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + ๐‘€)))
2416, 19, 233eltr4d 2842 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2837 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
26 simpr3 1193 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
27 elfznn 13536 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
28 fvconst2g 7199 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
2926, 27, 28syl2an 595 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘))) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
3026adantr 480 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3129, 30eqeltrd 2827 . . 3 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘))) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
327, 9, 24, 25, 31seqsplit 14006 . 2 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€) + (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘))))
33 nnaddcl 12239 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•)
3413, 10, 33syl2anc 583 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•)
35 mulgnndir.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
36 eqid 2726 . . . 4 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
372, 3, 35, 36mulgnn 19003 . . 3 (((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
3834, 26, 37syl2anc 583 . 2 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
392, 3, 35, 36mulgnn 19003 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€))
4013, 26, 39syl2anc 583 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€))
41 elfznn 13536 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
4226, 41, 28syl2an 595 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4326adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
44 nnaddcl 12239 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘€) โˆˆ โ„•)
4541, 13, 44syl2anr 596 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘€) โˆˆ โ„•)
46 fvconst2g 7199 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ + ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘€)) = ๐‘‹)
4743, 45, 46syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘€)) = ๐‘‹)
4842, 47eqtr4d 2769 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘€)))
4912, 14, 48seqshft2 13999 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘) = (seq(1 + ๐‘€)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
502, 3, 35, 36mulgnn 19003 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
5110, 26, 50syl2anc 583 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
5222seqeq1d 13978 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq(1 + ๐‘€)( + , (โ„• ร— {๐‘‹})))
5352, 19fveq12d 6892 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)) = (seq(1 + ๐‘€)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
5449, 51, 533eqtr4d 2776 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
5540, 54oveq12d 7423 . 2 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€) + (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘))))
5632, 38, 553eqtr4d 2776 1 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {csn 4623   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Mgmcmgm 18571  Smgrpcsgrp 18651  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19031  mulgnnass  19036  isarchi3  32839
  Copyright terms: Public domain W3C validator