MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnndir 19062
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 18683 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ๐บ โˆˆ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+gโ€˜๐บ)
42, 3mgmcl 18602 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mgm โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
51, 4syl3an1 1160 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
653expb 1117 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
76adantlr 713 . . 3 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
82, 3sgrpass 18684 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) + ๐‘ง) = (๐‘ฅ + (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
98adantlr 713 . . 3 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) + ๐‘ง) = (๐‘ฅ + (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
10 simpr2 1192 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
11 nnuz 12895 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1210, 11eleqtrdi 2835 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
13 simpr1 1191 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1413nnzd 12615 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
15 eluzadd 12881 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + ๐‘€) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + ๐‘€)))
1612, 14, 15syl2anc 582 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ + ๐‘€) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + ๐‘€)))
1713nncnd 12258 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1810nncnd 12258 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcomd 11446 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘€))
20 ax-1cn 11196 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
21 addcom 11430 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ + 1) = (1 + ๐‘€))
2217, 20, 21sylancl 584 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + 1) = (1 + ๐‘€))
2322fveq2d 6896 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + ๐‘€)))
2416, 19, 233eltr4d 2840 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2835 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
26 simpr3 1193 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
27 elfznn 13562 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
28 fvconst2g 7210 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
2926, 27, 28syl2an 594 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘))) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
3026adantr 479 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3129, 30eqeltrd 2825 . . 3 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘€ + ๐‘))) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
327, 9, 24, 25, 31seqsplit 14032 . 2 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€) + (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘))))
33 nnaddcl 12265 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•)
3413, 10, 33syl2anc 582 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•)
35 mulgnndir.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
36 eqid 2725 . . . 4 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
372, 3, 35, 36mulgnn 19035 . . 3 (((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
3834, 26, 37syl2anc 582 . 2 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
392, 3, 35, 36mulgnn 19035 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€))
4013, 26, 39syl2anc 582 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€))
41 elfznn 13562 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
4226, 41, 28syl2an 594 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4326adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
44 nnaddcl 12265 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘€) โˆˆ โ„•)
4541, 13, 44syl2anr 595 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘€) โˆˆ โ„•)
46 fvconst2g 7210 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ + ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘€)) = ๐‘‹)
4743, 45, 46syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘€)) = ๐‘‹)
4842, 47eqtr4d 2768 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘€)))
4912, 14, 48seqshft2 14025 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘) = (seq(1 + ๐‘€)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
502, 3, 35, 36mulgnn 19035 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
5110, 26, 50syl2anc 582 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
5222seqeq1d 14004 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq(1 + ๐‘€)( + , (โ„• ร— {๐‘‹})))
5352, 19fveq12d 6899 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)) = (seq(1 + ๐‘€)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
5449, 51, 533eqtr4d 2775 . . 3 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
5540, 54oveq12d 7434 . 2 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€) + (seq(๐‘€ + 1)( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜(๐‘€ + ๐‘))))
5632, 38, 553eqtr4d 2775 1 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {csn 4624   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141  โ„•cn 12242  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Mgmcmgm 18597  Smgrpcsgrp 18677  .gcmg 19027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mulg 19028
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19063  mulgnnass  19068  isarchi3  32940
  Copyright terms: Public domain W3C validator