MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnndir 19133
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 18749 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
42, 3mgmcl 18668 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1162 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
653expb 1119 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
76adantlr 715 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
82, 3sgrpass 18750 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
98adantlr 715 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 simpr2 1194 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nnuz 12918 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
13 simpr1 1193 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 12637 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 eluzadd 12904 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1713nncnd 12279 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1810nncnd 12279 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1917, 18addcomd 11460 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20 ax-1cn 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
21 addcom 11444 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2217, 20, 21sylancl 586 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2322fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(1 + 𝑀)))
2416, 19, 233eltr4d 2853 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2848 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
26 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
27 elfznn 13589 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
28 fvconst2g 7221 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
2926, 27, 28syl2an 596 . . . 4 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
3026adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑋𝐵)
3129, 30eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝐵)
327, 9, 24, 25, 31seqsplit 14072 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
33 nnaddcl 12286 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3413, 10, 33syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
35 mulgnndir.t . . . 4 · = (.g𝐺)
36 eqid 2734 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
372, 3, 35, 36mulgnn 19105 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
3834, 26, 37syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
392, 3, 35, 36mulgnn 19105 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
4013, 26, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41 elfznn 13589 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
4226, 41, 28syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
4326adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝐵)
44 nnaddcl 12286 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
4541, 13, 44syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
46 fvconst2g 7221 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4743, 45, 46syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4842, 47eqtr4d 2777 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)))
4912, 14, 48seqshft2 14065 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
502, 3, 35, 36mulgnn 19105 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5110, 26, 50syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5222seqeq1d 14044 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋})))
5352, 19fveq12d 6913 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
5449, 51, 533eqtr4d 2784 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
5540, 54oveq12d 7448 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
5632, 38, 553eqtr4d 2784 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {csn 4630   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  1c1 11153   + caddc 11155  cn 12263  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Mgmcmgm 18663  Smgrpcsgrp 18743  .gcmg 19097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mulg 19098
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19134  mulgnnass  19139  isarchi3  33176  fidomncyc  42521
  Copyright terms: Public domain W3C validator