MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnndir 18905
Description: Sum of group multiples, for positive multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnndir ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnndir
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrpmgm 18551 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
2 mulgnndir.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mulgnndir.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
42, 3mgmcl 18500 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1163 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
653expb 1120 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
76adantlr 713 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
82, 3sgrpass 18552 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
98adantlr 713 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 simpr2 1195 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
13 simpr1 1194 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 12526 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 eluzadd 12792 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1713nncnd 12169 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1810nncnd 12169 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1917, 18addcomd 11357 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
20 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
21 addcom 11341 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2217, 20, 21sylancl 586 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2322fveq2d 6846 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(1 + 𝑀)))
2416, 19, 233eltr4d 2853 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2513, 11eleqtrdi 2848 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
26 simpr3 1196 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
27 elfznn 13470 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
28 fvconst2g 7151 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
2926, 27, 28syl2an 596 . . . 4 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
3026adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑋𝐵)
3129, 30eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝐵)
327, 9, 24, 25, 31seqsplit 13941 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
33 nnaddcl 12176 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3413, 10, 33syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
35 mulgnndir.t . . . 4 · = (.g𝐺)
36 eqid 2736 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
372, 3, 35, 36mulgnn 18880 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
3834, 26, 37syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
392, 3, 35, 36mulgnn 18880 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
4013, 26, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41 elfznn 13470 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
4226, 41, 28syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
4326adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝐵)
44 nnaddcl 12176 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
4541, 13, 44syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
46 fvconst2g 7151 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4743, 45, 46syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4842, 47eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)))
4912, 14, 48seqshft2 13934 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
502, 3, 35, 36mulgnn 18880 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5110, 26, 50syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5222seqeq1d 13912 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋})))
5352, 19fveq12d 6849 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
5449, 51, 533eqtr4d 2786 . . 3 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
5540, 54oveq12d 7375 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
5632, 38, 553eqtr4d 2786 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Mgmcmgm 18495  Smgrpcsgrp 18545  .gcmg 18872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mulg 18873
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18906  mulgnnass  18911  isarchi3  32023
  Copyright terms: Public domain W3C validator