Theorem gsumsgrpccat 18866

Description: Homomorphic property of not empty composites of a group sum over a semigroup. Formerly part of proof for gsumccat 18867. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsgrpccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumsgrpccat	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumsgrpccat

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		sgrpmgm 18750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
3		gsumwcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumsgrpccat.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mgmcl 18669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	1, 7	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
9	3, 4	sgrpass 18751	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
11		lennncl 14569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12	11	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
13	12	3adant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
15	14	uzidd 12892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
16		lennncl 14569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
17	16	ad2ant2l 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
18	17	3adant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12565	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
21		uzaddcl 12944	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
22	15, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
23	13	nncnd 12280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
24	18	nncnd 12280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
25		1cnd 11254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	addsubassd 11638	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)))
27		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		npcan 11515	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	23, 27, 28	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
30	29	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
31	22, 26, 30	3eltr4d 2854	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
32		nnm1nn0 12565	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
33	13, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
34		nn0uz 12918	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	33, 34	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		ccatcl 14609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
37	36	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
38		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
40		ccatlen 14610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
41	40	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
42	41	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
43	18	nnzd 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
44	14, 43	zaddcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
45		fzoval 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
47	42, 46	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
48	47	feq2d 6723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
49	39, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
50	49	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51	8, 10, 31, 35, 50	seqsplit 14073	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))))
52		simpl2l 1225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
53		simpl2r 1226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
54		fzoval 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
55	14, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
56	55	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
57	56	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58		ccatval1 14612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
59	52, 53, 57, 58	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
60	35, 59	seqfveq 14064	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
61	23	addlidd 11460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
62	29, 61	eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (♯‘𝑊)))
63	62	seqeq1d 14045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
64	23, 24	addcomd 11461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = ((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)))
65	64	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1))
66	24, 23, 25	addsubd 11639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
67	65, 66	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
68	63, 67	fveq12d 6914	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
69	20, 34	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
70		simpl2l 1225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
71		simpl2r 1226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
72		fzoval 13697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
73	43, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
74	73	eleq2d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))))
75	74	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)))
76		ccatval3 14614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
77	70, 71, 75, 76	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
78	77	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → (𝑋‘𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))))
79	69, 14, 78	seqshft2 14066	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
80	68, 79	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
81	60, 80	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
82	51, 81	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
83	13, 18	nnaddcld 12316	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ)
84		nnm1nn0 12565	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
85	83, 84	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
86	85, 34	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
87	3, 4, 1, 86, 49	gsumval2 18712	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
88		simp2l 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89		wrdf 14554	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
90	88, 89	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
91	55	feq2d 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
92	90, 91	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
93	3, 4, 1, 35, 92	gsumval2 18712	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
94		simp2r 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
95		wrdf 14554	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
96	94, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
97	73	feq2d 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵 ↔ 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
98	96, 97	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
99	3, 4, 1, 69, 98	gsumval2 18712	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
100	93, 99	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
101	82, 87, 100	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  seqcseq 14039  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17487  Mgmcmgm 18664  Smgrpcsgrp 18744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745

This theorem is referenced by:  gsumccat  18867