Theorem gsumsgrpccat 18952

Description: Homomorphic property of not empty composites of a group sum over a semigroup. Formerly part of proof for gsumccat 18953. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsgrpccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumsgrpccat	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumsgrpccat

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		sgrpmgm 18829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
3		gsumwcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumsgrpccat.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mgmcl 18736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	1, 7	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
9	3, 4	sgrpass 18830	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
11		lennncl 14602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12	11	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
13	12	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
15	14	uzidd 12906	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
16		lennncl 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
17	16	ad2ant2l 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
18	17	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12572	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
21		uzaddcl 12956	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
22	15, 20, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
23	13	nncnd 12276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
24	18	nncnd 12276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
25		1cnd 11229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	addsubassd 11616	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)))
27		ax-1cn 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		npcan 11493	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	23, 27, 28	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
30	29	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
31	22, 26, 30	3eltr4d 2875	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
32		nnm1nn0 12572	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
33	13, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
34		nn0uz 12928	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	33, 34	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		ccatcl 14642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
38		wrdf 14586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
40		ccatlen 14643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
41	40	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
42	41	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
43	18	nnzd 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
44	14, 43	zaddcld 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
45		fzoval 13718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
47	42, 46	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
48	47	feq2d 6687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
49	39, 48	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
50	49	ffvelcdmda 7078	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51	8, 10, 31, 35, 50	seqsplit 14102	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))))
52		simpl2l 1245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
53		simpl2r 1246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
54		fzoval 13718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
55	14, 54	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
56	55	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
57	56	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58		ccatval1 14645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
59	52, 53, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
60	35, 59	seqfveq 14093	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
61	23	addlidd 11438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
62	29, 61	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (♯‘𝑊)))
63	62	seqeq1d 14074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
64	23, 24	addcomd 11439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = ((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)))
65	64	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1))
66	24, 23, 25	addsubd 11617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
67	65, 66	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
68	63, 67	fveq12d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
69	20, 34	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
70		simpl2l 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
71		simpl2r 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
72		fzoval 13718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
73	43, 72	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
74	73	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))))
75	74	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)))
76		ccatval3 14647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
77	70, 71, 75, 76	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
78	77	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → (𝑋‘𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))))
79	69, 14, 78	seqshft2 14095	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
80	68, 79	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
81	60, 80	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
82	51, 81	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
83	13, 18	nnaddcld 12315	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ)
84		nnm1nn0 12572	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
85	83, 84	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
86	85, 34	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
87	3, 4, 1, 86, 49	gsumval2 18791	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
88		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89		wrdf 14586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
90	88, 89	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
91	55	feq2d 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
92	90, 91	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
93	3, 4, 1, 35, 92	gsumval2 18791	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
94		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
95		wrdf 14586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
96	94, 95	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
97	73	feq2d 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵 ↔ 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
98	96, 97	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
99	3, 4, 1, 69, 98	gsumval2 18791	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
100	93, 99	oveq12d 7432	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
101	82, 87, 100	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  seqcseq 14068  ♯chash 14397  Word cword 14581   ++ cconcat 14638  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345   Σ_g cgsu 17528  Mgmcmgm 18731  Smgrpcsgrp 18823

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-mgm 18733  df-sgrp 18824

This theorem is used by:  gsumccat  18953