Theorem gsumsgrpccat 18765

Description: Homomorphic property of not empty composites of a group sum over a semigroup. Formerly part of proof for gsumccat 18766. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsgrpccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumsgrpccat	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumsgrpccat

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		sgrpmgm 18649	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
3		gsumwcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumsgrpccat.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mgmcl 18568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	1, 7	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
9	3, 4	sgrpass 18650	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
11		lennncl 14457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12	11	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
13	12	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
15	14	uzidd 12767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
16		lennncl 14457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
17	16	ad2ant2l 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
18	17	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
21		uzaddcl 12817	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
22	15, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
23	13	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
24	18	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
25		1cnd 11127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	addsubassd 11512	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)))
27		ax-1cn 11084	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		npcan 11389	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	23, 27, 28	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
30	29	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
31	22, 26, 30	3eltr4d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
32		nnm1nn0 12442	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
33	13, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
34		nn0uz 12789	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	33, 34	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		ccatcl 14497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
37	36	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
38		wrdf 14441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
40		ccatlen 14498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
42	41	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
43	18	nnzd 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
44	14, 43	zaddcld 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
45		fzoval 13576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
47	42, 46	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
48	47	feq2d 6646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
49	39, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
50	49	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51	8, 10, 31, 35, 50	seqsplit 13958	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))))
52		simpl2l 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
53		simpl2r 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
54		fzoval 13576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
55	14, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
56	55	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
57	56	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58		ccatval1 14500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
59	52, 53, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
60	35, 59	seqfveq 13949	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
61	23	addlidd 11334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
62	29, 61	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (♯‘𝑊)))
63	62	seqeq1d 13930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
64	23, 24	addcomd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = ((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)))
65	64	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1))
66	24, 23, 25	addsubd 11513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
67	65, 66	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
68	63, 67	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
69	20, 34	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
70		simpl2l 1227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
71		simpl2r 1228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
72		fzoval 13576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
73	43, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
74	73	eleq2d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))))
75	74	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)))
76		ccatval3 14502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
77	70, 71, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
78	77	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → (𝑋‘𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))))
79	69, 14, 78	seqshft2 13951	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
80	68, 79	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
81	60, 80	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
82	51, 81	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
83	13, 18	nnaddcld 12197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ)
84		nnm1nn0 12442	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
85	83, 84	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
86	85, 34	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
87	3, 4, 1, 86, 49	gsumval2 18611	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
88		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89		wrdf 14441	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
90	88, 89	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
91	55	feq2d 6646	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
92	90, 91	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
93	3, 4, 1, 35, 92	gsumval2 18611	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
94		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
95		wrdf 14441	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
96	94, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
97	73	feq2d 6646	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵 ↔ 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
98	96, 97	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
99	3, 4, 1, 69, 98	gsumval2 18611	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
100	93, 99	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
101	82, 87, 100	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  seqcseq 13924  ♯chash 14253  Word cword 14436   ++ cconcat 14493  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177   Σ_g cgsu 17360  Mgmcmgm 18563  Smgrpcsgrp 18643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644

This theorem is referenced by:  gsumccat  18766