Theorem gsumsgrpccat 18875

Description: Homomorphic property of not empty composites of a group sum over a semigroup. Formerly part of proof for gsumccat 18876. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsgrpccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumsgrpccat	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumsgrpccat

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		sgrpmgm 18762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
3		gsumwcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumsgrpccat.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mgmcl 18681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	6	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	1, 7	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
9	3, 4	sgrpass 18763	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
11		lennncl 14582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12	11	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
13	12	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
15	14	uzidd 12919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
16		lennncl 14582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
17	16	ad2ant2l 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
18	17	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12594	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
21		uzaddcl 12969	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
22	15, 20, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
23	13	nncnd 12309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
24	18	nncnd 12309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
25		1cnd 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	addsubassd 11667	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = ((♯‘𝑊) + ((♯‘𝑋) − 1)))
27		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		npcan 11545	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
29	23, 27, 28	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
30	29	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑊)))
31	22, 26, 30	3eltr4d 2859	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
32		nnm1nn0 12594	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
33	13, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
34		nn0uz 12945	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	33, 34	eleqtrdi 2854	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
36		ccatcl 14622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
37	36	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
38		wrdf 14567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
40		ccatlen 14623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
42	41	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
43	18	nnzd 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
44	14, 43	zaddcld 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
45		fzoval 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
47	42, 46	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
48	47	feq2d 6733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(♯‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
49	39, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
50	49	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51	8, 10, 31, 35, 50	seqsplit 14086	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))))
52		simpl2l 1226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
53		simpl2r 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
54		fzoval 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
55	14, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
56	55	eleq2d 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
57	56	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
58		ccatval1 14625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
59	52, 53, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
60	35, 59	seqfveq 14077	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
61	23	addlidd 11491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
62	29, 61	eqtr4d 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (♯‘𝑊)))
63	62	seqeq1d 14058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
64	23, 24	addcomd 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) = ((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)))
65	64	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1))
66	24, 23, 25	addsubd 11668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑋) + (♯‘𝑊)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
67	65, 66	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) = (((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊)))
68	63, 67	fveq12d 6927	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
69	20, 34	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
70		simpl2l 1226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
71		simpl2r 1227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
72		fzoval 13717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
73	43, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0...((♯‘𝑋) − 1)))
74	73	eleq2d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))))
75	74	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋)))
76		ccatval3 14627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
77	70, 71, 75, 76	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
78	77	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1))) → (𝑋‘𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (♯‘𝑊))))
79	69, 14, 78	seqshft2 14079	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (♯‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑋) − 1) + (♯‘𝑊))))
80	68, 79	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
81	60, 80	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq(((♯‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
82	51, 81	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
83	13, 18	nnaddcld 12345	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ)
84		nnm1nn0 12594	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
85	83, 84	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
86	85, 34	eleqtrdi 2854	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
87	3, 4, 1, 86, 49	gsumval2 18724	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)) − 1)))
88		simp2l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89		wrdf 14567	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
90	88, 89	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
91	55	feq2d 6733	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
92	90, 91	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
93	3, 4, 1, 35, 92	gsumval2 18724	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
94		simp2r 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
95		wrdf 14567	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
96	94, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵)
97	73	feq2d 6733	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝐵 ↔ 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
98	96, 97	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((♯‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
99	3, 4, 1, 69, 98	gsumval2 18724	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1)))
100	93, 99	oveq12d 7466	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((♯‘𝑋) − 1))))
101	82, 87, 100	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  seqcseq 14052  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17500  Mgmcmgm 18676  Smgrpcsgrp 18756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757

This theorem is referenced by:  gsumccat  18876