MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabsubmgmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabsubmgmd 18627
Description: Deduction for proving that a restricted class abstraction is a submagma. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rabsubmgmd.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
rabsubmgmd.p + = (+g𝑀)
rabsubmgmd.m (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
rabsubmgmd.cp ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏))) → 𝜂)
rabsubmgmd.th (𝑧 = 𝑥 → (𝜓𝜃))
rabsubmgmd.ta (𝑧 = 𝑦 → (𝜓𝜏))
rabsubmgmd.et (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝜓𝜂))
Assertion
Ref Expression
rabsubmgmd (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMgm‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝜂,𝑧   𝜏,𝑧   𝜃,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑧)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝜏(𝑥,𝑦)   𝜂(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem rabsubmgmd
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4069 . . 3 {𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵)
3 rabsubmgmd.th . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝜓𝜃))
43elrab 3675 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ↔ (𝑥𝐵𝜃))
5 rabsubmgmd.ta . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝜓𝜏))
65elrab 3675 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ↔ (𝑦𝐵𝜏))
74, 6anbi12i 626 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓}) ↔ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)))
8 rabsubmgmd.et . . . . 5 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝜓𝜂))
9 rabsubmgmd.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑀 ∈ Mgm)
11 simprll 776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑥𝐵)
12 simprrl 778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑦𝐵)
13 rabsubmgmd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
14 rabsubmgmd.p . . . . . . 7 + = (+g𝑀)
1513, 14mgmcl 18566 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
17 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝜃) → 𝑥𝐵)
18 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝜏) → 𝑦𝐵)
1917, 18anim12i 612 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝜃) → 𝜃)
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝜏) → 𝜏)
2220, 21anim12i 612 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)) → (𝜃𝜏))
2319, 22jca 511 . . . . . 6 (((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)) → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏)))
24 rabsubmgmd.cp . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏))) → 𝜂)
2523, 24sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝜂)
268, 16, 25elrabd 3677 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
277, 26sylan2b 593 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
2827ralrimivva 3192 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
2913, 14issubmgm 18625 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → ({𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ ({𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})))
309, 29syl 17 . 2 (𝜑 → ({𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ ({𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})))
312, 28, 30mpbir2and 710 1 (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMgm‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  {crab 3424  wss 3940  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Mgmcmgm 18561  SubMgmcsubmgm 18614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-mgm 18563  df-submgm 18616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator