Theorem issstrmgm 18689

Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issstrmgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issstrmgm.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issstrmgm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issstrmgm	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issstrmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
2		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		issstrmgm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		issstrmgm.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	ressbas2 17276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	6	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
8	7	biimpcd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
10	9	impcom 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
11	6	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
12	11	biimpcd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
14	13	impcom 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
15		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
17	15, 16	mgmcl 18679	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
18	1, 10, 14, 17	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
19	4	fvexi 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	ssex 5279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
21	20	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
22		issstrmgm.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23	3, 22	ressplusg 17322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → + = (+g‘𝐻))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → + = (+g‘𝐻))
26	25	oveqdr 7426	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
27	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
28	18, 26, 27	3eltr4d 2879	. . 3 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	5	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
31	24	oveqd 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
32	31, 30	eleq12d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
33	30, 32	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
34	30, 33	raleqbidv 3338	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
35	34	biimpa 480	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	15, 16	ismgm 18677	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
37	36	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
38	35, 37	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
39	29, 38	impbida 810	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  +_gcplusg 17288  Mgmcmgm 18674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mgm 18676

This theorem is referenced by: (None)