Theorem issstrmgm 18679

Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issstrmgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issstrmgm.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issstrmgm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issstrmgm	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issstrmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
2		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		issstrmgm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		issstrmgm.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	ressbas2 17283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	6	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
8	7	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
10	9	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
11	6	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
12	11	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
14	13	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
17	15, 16	mgmcl 18669	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
18	1, 10, 14, 17	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
19	4	fvexi 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	ssex 5327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
22		issstrmgm.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23	3, 22	ressplusg 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → + = (+g‘𝐻))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → + = (+g‘𝐻))
26	25	oveqdr 7459	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
27	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
28	18, 26, 27	3eltr4d 2854	. . 3 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
31	24	oveqd 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
32	31, 30	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
33	30, 32	raleqbidv 3344	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
34	30, 33	raleqbidv 3344	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
35	34	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	15, 16	ismgm 18667	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
37	36	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
38	35, 37	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
39	29, 38	impbida 801	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  Mgmcmgm 18664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mgm 18666

This theorem is referenced by: (None)