Theorem issstrmgm 18337

Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issstrmgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issstrmgm.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issstrmgm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issstrmgm	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issstrmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
2		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		issstrmgm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		issstrmgm.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	ressbas2 16949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	6	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
8	7	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
10	9	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
11	6	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
12	11	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
14	13	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
17	15, 16	mgmcl 18329	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
18	1, 10, 14, 17	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
19	4	fvexi 6788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	ssex 5245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
22		issstrmgm.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23	3, 22	ressplusg 17000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → + = (+g‘𝐻))
25	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → + = (+g‘𝐻))
26	25	oveqdr 7303	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
27	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
28	18, 26, 27	3eltr4d 2854	. . 3 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
31	24	oveqd 7292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
32	31, 30	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
33	30, 32	raleqbidv 3336	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
34	30, 33	raleqbidv 3336	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
35	34	biimpa 477	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	15, 16	ismgm 18327	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
37	36	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
38	35, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
39	29, 38	impbida 798	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  Mgmcmgm 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mgm 18326

This theorem is referenced by: (None)