MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issstrmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issstrmgm 18666
Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issstrmgm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issstrmgm.p + = (+g𝐺)
issstrmgm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issstrmgm ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issstrmgm
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . . 5 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
2 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆𝐵)
3 issstrmgm.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
4 issstrmgm.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4ressbas2 17283 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
62, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
76eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
87biimpcd 249 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
109impcom 407 . . . . 5 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
116eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
1211biimpcd 249 . . . . . . 7 (𝑦𝑆 → (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
1312adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
1413impcom 407 . . . . 5 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
15 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
1715, 16mgmcl 18656 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
181, 10, 14, 17syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
194fvexi 6920 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2019ssex 5321 . . . . . . . 8 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ V)
22 issstrmgm.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
233, 22ressplusg 17334 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → + = (+g𝐻))
2421, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → + = (+g𝐻))
2524adantr 480 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → + = (+g𝐻))
2625oveqdr 7459 . . . 4 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
276adantr 480 . . . 4 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2818, 26, 273eltr4d 2856 . . 3 ((((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2928ralrimivva 3202 . 2 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
305adantl 481 . . . . 5 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
3124oveqd 7448 . . . . . . 7 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3231, 30eleq12d 2835 . . . . . 6 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
3330, 32raleqbidv 3346 . . . . 5 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
3430, 33raleqbidv 3346 . . . 4 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
3534biimpa 476 . . 3 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3615, 16ismgm 18654 . . . 4 (𝐻𝑉 → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
3736ad2antrr 726 . . 3 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
3835, 37mpbird 257 . 2 (((𝐻𝑉𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
3929, 38impbida 801 1 ((𝐻𝑉𝑆𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  Mgmcmgm 18651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mgm 18653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator