Theorem issstrmgm 17863

Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issstrmgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issstrmgm.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issstrmgm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issstrmgm	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issstrmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
2		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		issstrmgm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		issstrmgm.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	ressbas2 16555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	6	eleq2d 2898	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
8	7	biimpcd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
10	9	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
11	6	eleq2d 2898	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
12	11	biimpcd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
13	12	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
14	13	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
17	15, 16	mgmcl 17855	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
18	1, 10, 14, 17	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
19	4	fvexi 6684	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	ssex 5225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
21	20	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
22		issstrmgm.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23	3, 22	ressplusg 16612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → + = (+g‘𝐻))
25	24	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → + = (+g‘𝐻))
26	25	oveqdr 7184	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
27	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
28	18, 26, 27	3eltr4d 2928	. . 3 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	5	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
31	24	oveqd 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
32	31, 30	eleq12d 2907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
33	30, 32	raleqbidv 3401	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
34	30, 33	raleqbidv 3401	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
35	34	biimpa 479	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	15, 16	ismgm 17853	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
37	36	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
38	35, 37	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
39	29, 38	impbida 799	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  +_gcplusg 16565  Mgmcmgm 17850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mgm 17852

This theorem is referenced by: (None)