Theorem issstrmgm 18522

Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issstrmgm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issstrmgm.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issstrmgm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issstrmgm	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issstrmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
2		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		issstrmgm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		issstrmgm.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	ressbas2 17132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	6	eleq2d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
8	7	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
10	9	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
11	6	eleq2d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
12	11	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
14	13	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
17	15, 16	mgmcl 18514	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
18	1, 10, 14, 17	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
19	4	fvexi 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	ssex 5283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
22		issstrmgm.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23	3, 22	ressplusg 17185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → + = (+g‘𝐻))
25	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → + = (+g‘𝐻))
26	25	oveqdr 7390	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
27	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
28	18, 26, 27	3eltr4d 2847	. . 3 ⊢ ((((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimivva 3193	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
31	24	oveqd 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
32	31, 30	eleq12d 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
33	30, 32	raleqbidv 3317	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
34	30, 33	raleqbidv 3317	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
35	34	biimpa 477	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	15, 16	ismgm 18512	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
37	36	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻)))
38	35, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
39	29, 38	impbida 799	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐻 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094   ↾_s cress 17123  +_gcplusg 17147  Mgmcmgm 18509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mgm 18511

This theorem is referenced by: (None)