Theorem idmgmhm 18609

Description: The identity homomorphism on a magma. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
idmgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
idmgmhm	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))

Proof of Theorem idmgmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → 𝑀 ∈ Mgm)
2	1	ancri 549	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm))
3		f1oi 6801	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
4		f1of 6763	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
6		idmgmhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	6, 7	mgmcl 18551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9	8	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
10		fvresi 7107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
12		fvresi 7107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
13		fvresi 7107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
14	12, 13	oveqan12d 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
16	11, 15	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17	16	ralrimivva 3175	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
18	5, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏))))
19	6, 6, 7, 7	ismgmhm 18604	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))))
20	2, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   I cid 5508   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Mgmcmgm 18546   MgmHom cmgmhm 18598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-mgm 18548  df-mgmhm 18600

This theorem is referenced by:  idrnghm  20376