MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmgmhm 18689
Description: The identity homomorphism on a magma. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idmgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
idmgmhm (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))

Proof of Theorem idmgmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → 𝑀 ∈ Mgm)
21ancri 548 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm))
3 f1oi 6873 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
4 f1of 6835 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
6 idmgmhm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
86, 7mgmcl 18631 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
983expb 1117 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
10 fvresi 7179 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
12 fvresi 7179 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
13 fvresi 7179 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
1412, 13oveqan12d 7435 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1514adantl 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1611, 15eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
1716ralrimivva 3191 . . 3 (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
185, 17jca 510 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏))))
196, 6, 7, 7ismgmhm 18684 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))))
202, 18, 19sylanbrc 581 1 (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051   I cid 5571  cres 5676  wf 6542  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  Mgmcmgm 18626   MgmHom cmgmhm 18678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8849  df-mgm 18628  df-mgmhm 18680
This theorem is referenced by:  idrnghm  20436
  Copyright terms: Public domain W3C validator