Theorem idmgmhm 18660

Description: The identity homomorphism on a magma. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
idmgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
idmgmhm	⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))

Proof of Theorem idmgmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → 𝑀 ∈ Mgm)
2	1	ancri 554	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm))
3		f1oi 6805	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
4		f1of 6767	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
6		idmgmhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	6, 7	mgmcl 18602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9	8	3expb 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
10		fvresi 7117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
12		fvresi 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
13		fvresi 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
14	12, 13	oveqan12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
16	11, 15	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17	16	ralrimivva 3182	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
18	5, 17	jca 516	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏))))
19	6, 6, 7, 7	ismgmhm 18655	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑀 ∈ Mgm) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))))
20	2, 18, 19	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MgmHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   I cid 5512   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Mgmcmgm 18597   MgmHom cmgmhm 18649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-mgm 18599  df-mgmhm 18651

This theorem is referenced by:  idrnghm  20429